ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.03.2024
Просмотров: 51
Скачиваний: 0
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Тема 3. Проекция вектора на ось.
Проекцией
вектора 
на ось l называется величина направленного отрезка А'В' (где АА' 
ВВ' 
— рис. 4.11), т.е. число, взятое со знаком «+», если направление А'В' совпадает с направлением оси l , и со знаком «–», если эти направления противоположны:
Рис. 4.11
Скалярным произведением
двух векторов 
и 
называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла φ между ними:
Цит. по: Математика для экономистов: от Арифметики до Эконометрики:
учеб.-справоч. пособие / под ред. проф. Н.Ш. Кремера. —
М.: Высшее образование, 2009. — (Основы наук) — С. 121.
Цит. по: Высшая математика в схемах и таблицах /
Н.С. Знаенко. — Ульяновск: ООО «Вектор-С», 2008. — С. 17.
3.4. Даны два единичных вектора
и 
угол между которыми 120°.
Найти: а) острый угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах
и
б) проекцию вектора на направление вектора 
Решение:
Рис.3.4
а) Искомый угол φ (рис. 3.4) определим по формуле (3.13):
По формулам найдем скалярное произведение векторов
и 
и их длины:
Теперь
и
б) По формуле
Найдем
Теперь
Цит. по: Высшая математика для экономистов:
Практикум для студентов вузов,
обучающихся по экономическим специальностям /
[Н.Ш. Кремер и др]; под ред. проф.Н.Ш. Кремера. —
2-е изд., перераб. и доп. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. —
(Серия «Золотой фонд российских учебников») — С. 66–67.
Пример 4.12. Даны векторы
и 
Найти: а) скалярное произведение векторов
где
б) угол между векторами 
и 
Решение, а) По определению
По формуле найдем длины векторов и 
По формуле скалярное произведение
б) По формуле угол между векторами и 
определяется равенством
откуда φ = arccos 0,52 » 58°.
Векторным произведением вектора на вектор называется вектор 
удовлетворяющий условиям (рис. 4.12):
а) длина вектора равна произведению длин векторов и на синус угла φ между ними, т.е.
б) вектор перпендикулярен каждому из векторов
и
в) вектор направлен так, что из конца этого вектора кратчайший поворот от к виден против часовой стрелки (иными словами, векторы 
образуют правую тройку векторов).
Рис. 4.12
Цит. по: Математика для экономистов: от Арифметики до Эконометрики:
учеб.-справоч. пособие / под ред. проф. Н.Ш. Кремера. —
М.: Высшее образование, 2009. — (Основы наук) — С. 122–123.
Цит. по: Высшая математика в схемах и таблицах /
Н.С. Знаенко. — Ульяновск: ООО «Вектор-С», 2008. — С. 18.
Примеры
1. Дано:
, 
.
Найти:
.
Решение:
.
.
.
2. Дано:
, 
.
Найти: S sin α
Решение:
Цит. по: Математика [Электронный ресурс]: учебный курс /
Г.А. Питерцева. — Электронный курс. — М: МИЭМП, 2007. —
Режим доступа к курсу: http://e-college.ru. — П. 3.3.
Смешанным произведением векторов
называется скалярное произведение векторов
и 
где есть векторное произведение векторов и
Цит. по: Математика для экономистов: от Арифметики до Эконометрики:
учеб.-справоч. пособие / под ред. проф. Н.Ш. Кремера. —
М.: Высшее образование, 2009. — (Основы наук) — С. 123.
Цит. по: Высшая математика в схемах и таблицах /
Н.С. Знаенко. — Ульяновск: ООО «Вектор-С», 2008. — С. 19.
Линейная алгебра
Тема 1. Матрицы. Определитель матрицы
Матрицы
Определение 8.18. Прямоугольная таблица чисел вида
называется прямоугольной матрицей размера m × n , где m - количество строк, а n - количество столбцов.
Определение 8.19. Числа, которые образуют матрицу, - a ij, где
называются элементами матрицы.
Определение 8.20. Числа i и j называются индексами элемента a ij, i показывает, в какой строке расположен данный элемент, а j - в каком столбце находится этот элемент.
Две матрицы считаются равными, если равны их соответствующие элементы.
Виды матриц
Если m = n, то матрица называется квадратной матрицей порядка n .
Матрица размера m × 1 называется матрицей-столбцом.
Матрица размера 1 × n называется матрицей-строкой.
Определение 8.21.
Проекцией
вектора на ось l называется величина направленного отрезка А'В' (где АА' ВВ' — рис. 4.11), т.е. число, взятое со знаком «+», если направление А'В' совпадает с направлением оси l , и со знаком «–», если эти направления противоположны: Рис. 4.11
Скалярным произведением
двух векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла φ между ними: Цит. по: Математика для экономистов: от Арифметики до Эконометрики:
учеб.-справоч. пособие / под ред. проф. Н.Ш. Кремера. —
М.: Высшее образование, 2009. — (Основы наук) — С. 121.
Цит. по: Высшая математика в схемах и таблицах /
Н.С. Знаенко. — Ульяновск: ООО «Вектор-С», 2008. — С. 17.
3.4. Даны два единичных вектора
и угол между которыми 120°.Найти: а) острый угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах
и
б) проекцию вектора на направление вектора Решение:
Рис.3.4
а) Искомый угол φ (рис. 3.4) определим по формуле (3.13):
По формулам найдем скалярное произведение векторов
и и их длины: Теперь
и
б) По формуле
Найдем
Теперь
Цит. по: Высшая математика для экономистов:
Практикум для студентов вузов,
обучающихся по экономическим специальностям /
[Н.Ш. Кремер и др]; под ред. проф.Н.Ш. Кремера. —
2-е изд., перераб. и доп. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. —
(Серия «Золотой фонд российских учебников») — С. 66–67.
Пример 4.12. Даны векторы
и Найти: а) скалярное произведение векторов
где
б) угол между векторами и Решение, а) По определению
По формуле найдем длины векторов
и По формуле скалярное произведение
б) По формуле угол между векторами
и определяется равенством откуда φ = arccos 0,52 » 58°.
Векторным произведением вектора
на вектор называется вектор удовлетворяющий условиям (рис. 4.12):а) длина вектора
равна произведению длин векторов и на синус угла φ между ними, т.е. б) вектор
перпендикулярен каждому из векторов
и
в) вектор
направлен так, что из конца этого вектора кратчайший поворот от к виден против часовой стрелки (иными словами, векторы образуют правую тройку векторов). Рис. 4.12
Цит. по: Математика для экономистов: от Арифметики до Эконометрики:
учеб.-справоч. пособие / под ред. проф. Н.Ш. Кремера. —
М.: Высшее образование, 2009. — (Основы наук) — С. 122–123.
Цит. по: Высшая математика в схемах и таблицах /
Н.С. Знаенко. — Ульяновск: ООО «Вектор-С», 2008. — С. 18.
Примеры
1. Дано:
, .Найти:
.Решение:
. . .2. Дано:
, .Найти: S sin α
Решение:
Цит. по: Математика [Электронный ресурс]: учебный курс /
Г.А. Питерцева. — Электронный курс. — М: МИЭМП, 2007. —
Режим доступа к курсу: http://e-college.ru. — П. 3.3.
Смешанным произведением векторов
называется скалярное произведение векторов
и где есть векторное произведение векторов и Цит. по: Математика для экономистов: от Арифметики до Эконометрики:
учеб.-справоч. пособие / под ред. проф. Н.Ш. Кремера. —
М.: Высшее образование, 2009. — (Основы наук) — С. 123.
Цит. по: Высшая математика в схемах и таблицах /
Н.С. Знаенко. — Ульяновск: ООО «Вектор-С», 2008. — С. 19.
Линейная алгебра
Тема 1. Матрицы. Определитель матрицы
Матрицы
Определение 8.18. Прямоугольная таблица чисел вида
называется прямоугольной матрицей размера m × n , где m - количество строк, а n - количество столбцов.
Определение 8.19. Числа, которые образуют матрицу, - a ij, где
называются элементами матрицы.Определение 8.20. Числа i и j называются индексами элемента a ij, i показывает, в какой строке расположен данный элемент, а j - в каком столбце находится этот элемент.
Две матрицы считаются равными, если равны их соответствующие элементы.
Виды матриц
Если m = n, то матрица называется квадратной матрицей порядка n .
Матрица размера m × 1 называется матрицей-столбцом.
Матрица размера 1 × n называется матрицей-строкой.
Определение 8.21.
