Файл: Методические указания для проведения практических работ по профессиональному модулю Проектирование цифровых устройств.docx

---

ПРАКТИЧЕСКИЕ РАБОТЫ

Практическая работа №1

Тема: «Перевод чисел в различные системы счисления»

Цель: получить практические навыки решения задач на перевод чисел в различные системы счисления.

Теоретическая часть

Системы счисления, используемые в компьютерах

1. 
   Двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная, системы счисления
   

Выше отмечалось, что для представления чисел и оперирования с ними человечество за свою многовековую историю разработало большое количество специальных языков, которые называются числовыми языками Обычно,
все такие языки, которые включают в себя приемы наименования и записи
чисел, называют счислением а конкретно каждый из них называют системой
счисления.

Система счисления (СС) - это способ наименования и представления чисел с помощью некоторой совокупности символов, имеющих определенное количест­венное значение. Символы, которые используются в любой системе счисления, называются цифрами.

В любой системе счисления числа записываются как некоторая последо­вательность цифр. Все системы счисления подразделяются на два класса: непо­зиционные и позиционные системы счисления.

Непозиционные системы счисления.

Все непозиционные системы счисления задаются перечислением изображаемых в них значений (или таблицей). Классическим примером непозиционной системы счисления является, так на­зываемая, римская система счисления, в которой числа изображаются буквами латинского алфавита.

Так буква (символ) I всегда обозначает 1,

V всегда обозначает 5,

X всегда обозначает 10,

L всегда обозначает 50,

С всегда обозначает 100

D всегда обозначает 500,

М всегда обозначает 1000 и т.д.

Например, число 1678 запишется в римской системе счисления в виде MDCLXXVIII Из этого примера видно, что значения написанных рядом букв при изображении числа складываются. Для уменьшения числа требуемых сим­волов, в римской системе счисления было введены дополнительные правила. Размещение меньшего числа справа от большего числа означает прибавление его к большему числу. Так VI - означает 6, XI - 11, LX - 60, а размещение меньшего числа слева от большего числа означает вычитание. Например, IV -означает 4, IX - 9, XL – 40. Число 247 запишется в виде –CCXLVII

---

Для записи больших чисел в непозиционных системах счисления надо либо записывать длинные строки из повторяющихся символов, либо увеличи­вать набор этих символов. Это и явилось общим недостатком всех непозиционных систем счисления. Поэтому для записи больших чисел в римской сис­теме счисления, чтобы не вводить новых символов были введены дополни­тельные обозначения: над символами основного набора ставилась черточка, которая обозначала, что данный символ (число) надо умножить на 1000. Не такие приемы все равно не решали проблемы записи очень больших чисел, с которыми приходится иметь дело в повседневной жизни.

Самая простая непозиционная система счисления, имеющая наимень­шее число символов — аддитивная система, в которой используется только одни символ – I. В ней единице соответствует I, 2 - II, 3 - III, 4 – IIII. И во­обще, величина числа равна количеству одинаковых знаков его представления. Так как в этой системе используется только одна цифра - I, то иногда такую систему счисления называют единичной или палочной.

В непозиционных системах счисления количественные значения цифр не меняется при изменении их положения в последовательности цифр представ­ляющей число. В непозиционных системах счисления действия над числами связаны с большими трудностями и не имеют строгих правил, и в этих систе­мах нельзя выражать отрицательные и дробные числа. В силу указанных не­достатков, непозиционные системы счисления имеют ограниченное примене­ние. В основном их используют для обозначения каких-либо натуральных чи­сел - как правило, для наименования дат, веков, годов, томов, глав и т.д.

Ранее использовались и другие непозиционные системы счисления. Так из­вестны древнеегипетская и вавилонская непозиционные системы счисления. У древних славян использовалась, так называемая, алфавитная системы счисления, в которой в качестве цифр применялись буквы древнерусского алфавита,

Позиционные системы счисления.

Большее распространение получили позиционные системы счисления, которые являются более совершенными по отношению к непозиционным системам счисления.

Позиционной системой счисления называется система представления чисел, в которой количественное значение каждой цифры, входящей в запись числа, зависит от места, то есть по­зиции, в ряду цифр, изображающих число.

---

В каждой позиционной системе счис­ления используется определенный набор символов (их договорились называть цифрами), последовательная запись которых изображает число.

Совокупность этих цифр используемых в позиционной системе счисления для записи чисел, называется алфавитом системы счисления или базой (базовые цифры).

Существуют различные позиционные системы счисления. Возможно бесчисленное множество позиционных систем, так как за основание можно принять любое число, образовав новую систему счисления. С теоретической точки зрения, основанием системы счисления может быть любое ненулевое число (в том числе отрицательные и даже комплексные). Наиболее часто ис­пользуются системы счисления с натуральным основанием, более редко отри­цательные целые и дробные основания. В теоретическом отношении все сис­темы счисления равноправны. Лишь на практике отдельным системам отдаст­ся предпочтение для тех или иных применений. Во всех системах счисления по одним и тем же правилам выполняются арифметические операции, спра­ведливы одни и те же законы для этих операций.

Количество символов в алфавит системы счисления при натуральном основании соответствует основа­нию системы счисления.

Основание показывает, во сколько раз изменяется ко­личественное значение каждой цифры при перемещении на соседнюю пози­цию, и какое число различных цифр входит в алфавит.

Позиция символа в изо­бражении числа называется разрядом.

В позиционных системах различают по­нятие базиса системы счисления.

Базисом системы счисления называют последовательность чисел, каждое из которых показывает, во сколько раз меняется значение цифры в зависимости от се месторасположения (позиции) или "вес" каждого разряда.

Название системы счисления с натуральным основанием соот­ветствует ее основанию, которое задастся в десятичной системе счисления (например, десятичная, двоичная, восьмеричной и т.д.), В математике и в обычной повседневной практике, чаще всего используется десятичная система счисления, в которой в качестве базы используется десять арабских цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Базисом десятичной системой счисления является по­следовательность - ...10

---

^-3, 10^-2, 10^-1, 1, 10, 10², 10³ ,…10ⁿ ...

Позиционные системы счисления, в которых для всех разрядов числа используется одинаковое основание (базис в соседних разрядах меняются в одинаковое количество раз — в р раз), называются однородными. В любой од­нородной системе счисления с натуральным основанием р базисом является числовая последовательность

...,p^-3, р^-2, р^-1, р⁰ = 1, р¹ ,р², р³, ...,рⁿ,...,

кото­рая является геометрической прогрессией со знаменателем равным основанию системы счисления р.

Применяются также позиционные системы счисления, в которых в ка­честве базиса используется некоторая числовая последовательность, но она не является геометрической прогрессией. Такие системы счисления называются неоднородными. Примерами неоднородных систем счисления могут быть фибоначчиевая система и факториальная система. В фибоначчиевой системе в каче­стве базиса используются числа последовательности Фибоначчи - 1,2,3,5,8,13,..., и далее по закону

а_n=а_n-1 + a_n-2, а алфавитом в этой системе счисления явля­ются цифры 0, 1. В факториальной системе в качестве базиса используются факториалы натуральных чисел –

1! = 1, 2! = 2, 3!=6 (n-1)!, n!, где факто­риал числа л (обозначается n!) вычисляется по формуле n!=l*2*3..(n-l)*n. Для каждого разряда в этой системе используется определенный набор цифр из алфавита системы.

Существуют и другие позиционные системы счисления. Широкое рас­пространение имела двенадцатеричная система счисления, происхождение ко­торой, вероятно, связано, как и десятичной системы, со счетом на пальцах: за единицу счета принимались фаланги (отдельные суставы) четырех пальцев од­ной руки, которые при счете перебирались большим пальцем той же руки. Ос­татки двенадцатеричная системы счисления до сих пор используются в устной речи и обычаях. Хорошо известно, например, название единицы второго раз­ряда в двенадцатеричной системе счисления - числа 12 - дюжина. Сохранился обычай считать многие предметы не десятками, а дюжинами. Например, сто­ловые приборы и сервизе или стулья в мебельном гарнитуре (12 стульев - дю­жина стульев, 6 тарелок - полдюжины тарелок), число месяцев в году, в сутках две дюжины часов и т.д. Название единицы третьего разряда в двенадцатерич­ной системе счисления - гросс - встречается теперь редко (наверное, только в кроссвордах), но в торговой практике начала столетия оно бытовало, и его можно было легко встретить. В 1928 году В.В.Маяковский в стихотворении "Плюшкин" писал «… укупил двенадцать гроссов дирижерских палочек».

---