Файл: Методические указания для проведения практических работ по профессиональному модулю Проектирование цифровых устройств.docx

Использовались и другие системы счисления. В Древнем Китае приме­нялась пятеричная система счисления, в Центральной Америке у древних кельтов - 20-ричная система счисления, в Вавилоне - 6-ричная, которая ис­пользуется до сих пор при оперировании и измерении времени и угловых ве­личии.

При представлении чисел в позиционной системе счислений с любым основанием для однородных систем счисления нулевому разряду (позиция единиц) соответствует младший разряд целой части числа. Номер каждого сле­дующего разряда числа, расположенного слева от запятой (целой частью числа) увеличивается на единицу, а разряд числа, расположенного справа от запятой (дробной частью числа) уменьшается на единицу. Номер разряда показывает, в какую степень надо возвести основание системы счисления.

Для систем с основанием меньшим десяти можно использовать те же цифры, что и в десятичной системе. В этом случае, надо указывать в какой именно системе счисления записано число. В дальнейшем, при рассмотрении задач, связанных с системами счислений, основание числа записывать в виде индекса справа от числа, либо указывать основание справа от числа в скобках. Само основание, в этом случае, пишется в десятичной системе счисления. На­пример, десятичное число 1928 может быть обозначено как 1928₍₁₀₎ 1342₍₅₎ означает, что число записано в пятеричной системе, а 5324₍₇₎ означает, что число записано в семеричной системе.

В позиционной системе счисления с натуральным основанием р должно быть использовано ровно р различных цифр. В любой позиционной системе счисления с натуральным основанием число равное основанию системы записыва­ется в виде 10, поскольку основание есть единица первого разряда, но надо помнить, что эта десятка имеет различное количественное значение в различ­ных системах счисления.
Правила представления чисел в позиционных системах счисления.
В од­нородной системе счисления с основанием р положительное смешанное чис­ло А_(р) записывается в виде последовательности р-ичпых цифр, разделенных запятой на две последовательности, которые выражают целую и дробную части соответственно:

Вторая строчка равенства называется степенным рядом либо развернутой формой записи числа. Первая строчка называется свернутой формой, которая наиболее употребима. Степенной ряд или данное число можно коротко записать в виде

---

где р - основание системы счисления; - цифра в i-ом разряде; n, m - число позиций (разрядов), соответственно, для целой и дроб­ной части числа. m - наименьший разряд в дробной части числа, а также точ­ность приближенного представления числа. Черта над цифрами означает, что это не произведение всех чисел, записанных с помощью цифр, а именно одно число, записанное с помощью этих цифр. Иногда, в дальнейшем, эту черту бу­дем опускать, когда из контекста ясно, что мы имеем дело с многоразрядными числами.

Сами цифры и их обозначения берутся из алфавита, который содержит р символов. Каждой цифре соответствует определенный количественный эк­вивалент - числовое значение. В большинстве случаев для любой цифры, вхо­дящей в такую систему счисления, выполняется неравенство



Из формулы следует, что в любой однородной позиционной системе счисления число можно представить как сумму произведений цифр этого числа на основание системы счисления в некоторой степени. Существуют системы счис­ления, в которых это соотношение не выполняется. Например, в системах, с так называемым, симметрическим или кососимметричным алфавитом. По­ясним что это такое. Если в системе с основанием р множество цифр состо­ит из элементов {0,1…р=1}, то говорят, что система имеет естественное мно­жество цифр; если р=2m+1 и множество цифр равно {-m,....,-1,0,1,....,m], то говорят, что система имеет симметрическое множество цифр, если р = 2m и множество цифр равно {-m....,-1,0,1, ....,m-1} или {-m + 1,....-1,0,1,....m}, то го­ворят, что система имеет кососимметрическое в отрицательную или положи­тельную сторону множество цифр, соответственно.

Показатели степени основания дробной части -m могут изображаться отрицательными числами от -1до - (из арифметики и алгебры известно, что дробная часть может выражаться с помощью бесконечной периодической или непериодической дроби).

---

Для некоторых, часто встречающихся, систем счислений применяются следующие алфавиты или цифры:

в 2 СС - {0, 1),

в 3 СС – {0, 1, 2} или {1; 0;1} - симметричный алфавит,

в 8СС- {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7},

в 10 СС - {0, 1. 2, 3, 4. 5, 6, 7, 8, 9}

в 16 СС - {0, 1. 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, C, D, Е, F}.

Приведем примеры записи целых, дробных и смешанных чисел в раз­личных системах счислений. Например,

0,CD₁₆=

Эти примеры показывают, что некоторое число можно записать в раз­личных системах счисления. Любое число можно записать в системе счисле­ния с любым основанием.

В современных ЭВМ используются двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная и, конечно, привычная нам, десятичная системы счисления. Для ка­ждой системы используется свой алфавит - набор цифр для изображения чи­сел. Рассмотрим более подробно представление чисел в применяемых в ЭВМ двоичной, восьмеричной н шестнадцатеричной системах счисления.

---

Двоичная система счисления (бинарная или диодная система счисления)

Имеет цифровой набор {0,1/}, р=2. В двоичной системе 10₂ = 2₁₀. Иногда вместо индекса 2 для обозначения двоичных чисел используется латинская буква b (binary). Например, 11011b. Смешанное двоичное число можно представить выражением в десятичной системе счисле­ния



В соответствии с этой формулой целое двоичное число 1000101₍₂₎ можно записать следующим образом:



Смешанное двоичное число 10011,0101₍₂₎ можно записать следующим образом:

Двоичная система счисления очень широко используется в ЭВМ, поэто­му полезно знать наиболее часто встречающиеся степени числа 2. В таблице 2.1.1 приведены первые 12 степеней числа 2

Таблица 2.1.1

к	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
2к	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024	2048	4096

Восьмеричная система счисления

Для изображения чисел в восьмеричной системе используются первые 8 цифр десятичной системы счисления - {0,1, 2,3,4,5,6,7}, р = 8. В восьмеричной системе 10₈ = 8₁₀.

В восьмеричной системе счисления, целое число 5375₈ имеет вид:

=2813₍₁₀₎

Шестнадцатеричная система счисления.

Для изображения чисел в шестнадцатеричной системе требуется 16 цифр. Первые десять цифр берутся из десятичной системы счисления, а для шести остальных используются шесть заглавных (прописных) букв латинского алфавита - А, В, С, D, Е, F. Заметим, что можно было бы использовать любые другие шесть символов - например, 1,2,3,4,5,6.

---

Таким образом, в шестнадцатеричной системе имеется на­бор цифр {0, 1. 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, C, D, Е, F}, р=16. В шестнадцатерич­ной системе 10₁₆ = 16₁₀.



Приведем еще несколько примеров записи целых и дробных шестнадцатеричных чисел.

1АА9,С₍₁₆₎= = 426,5625

Полезно знать соответствие одинаковых чисел в указанных системах счисления и десятичной системе счисления, которая является наиболее удоб­ной для проведения операций с числами и их восприятия. В таблице 2 1.2 приведены представления десятичных числа от 0 до 21 в двоичной, восьме­ричной и шестнадцатеричной системах счисления.

Таблица 2,1.2

Эквиваленты в системах счисления				Эквиваленты в системах счисления
10 СС	2 СС	8 СС	16 СС	10СС	2СС	8 СС	16 СС
0	0	0	0	11	1011	13	В
1	1	1	1	12	1100	14	С
2	10	2	2	13	1101	15	D
3	11	3	3	14	1110	16	Е
4	100	4	4	15	1111	17	F
5	101	5	5	16	10000	20	10
6	110	6	6	17	10001	21	11
7	111	7	7	18	10010	22	12
8	1000	10	8	19	10011	23	13
9	1001	11	9	20	10100	24	14
10	1010	12	А	21	10101	25	15

---