Файл: Сивый В.Б. Метод множественной корреляции в анализе и планировании угольных предприятий.pdf

где ф(/) — плотность вероятности на единицу измерения признака t, которая в а раз больше единицы измерения х.

Стандартизация масштаба х производится

заменой аргумента х переменным t:

где х — значение признака в натуральном мас­ штабе;

t — соответствующее значение в стандар­ тизованном масштабе.

Значения t или, как их называют, нормиро­ ванные отклонения (см. табл. 3, графа 7) сим­

клонений а отклоняется данное значение при­

знака х от своей средней величины х. Ординаты кривой нормального распреде­

ления уа определяются из выражения

У „ = / ( * ) = ^ - . ( Ю )

При вычислениях функции cp(t) по найден­ ным t пользуются таблицей значений дифферен­

циальной функции Лапласа, которая в кратком

виде приведена в конце брошюры (см. прило­

жение 1).

Кривая нормального распределения строит­ ся по ординатам у„ = f(x). На тех же рисунках помещаются опытные графики распределения —

гистограммы. Для сох'ласования масштабов орди­ наты гистограммы опытных данных уг выража­ ются через плотности относительных частот

3 4

рядов распределения. Значения уг определяют­

ся по формуле

и— величина интервала признака;

п= Етп — общее число наблюдений. Иногда между плавной кривой и статисти­

ческим распределением наблюдается некоторое

расхождение. Это может быть вызвано случай­

ными обстоятельствами, связанными с ограни­

ченным числом наблюдений, или тем, что подоб­

ранная кривая плохо выравнивает данное

статистическое распределение. Как бы хорошо ни была подобрана теоретическая кривая, между нею и статистическим распределением неиз­ бежны некоторые расхождения.

Для оценки степени согласованности теоре­ тического и статистического распределений ис­ пользуются критерии согласия. Наиболее час­ то применяется критерий Пирсона X2, который определяется по формуле:

Среднеквадратическое отклонение о для рас­

сматриваемого ряда распределения рассчитано по формуле (5) подстановкой данных из табл, 4

и равно 4,336.

Вычислим критерий согласия Пирсона X2 для ряда распределения производительности

труда по группе шахт с выемкой угля отбойны­

Распределение критерия согласия X2 зави­ сит от числа степеней свободы распределения V,

которое определяется разностью между коли­ чеством интервалов (к) и количеством связей

(независимых условий), наложенных на часто­ ты событий. В случае нормального распределе­

ния количество связей равно трем.

Для распределения р (X2) составлены табли­

цы, позволяющие по данному значению X3 и

числу степеней свободы v найти теоретическую

вероятность того, чте величина, распределен­ ная по закону X2, превзойдет данное значение.

В приложении 3 приведены значения X2, со­ ответствующие разным вероятностям р (X2) и

числам степеней свободы от 1 до 30. Малая

36

величина р (X2) указывает на недостаточное со­ гласие между гипотезой и наблюдениями.

При количестве интервалов к, равном 10, число степеней свободы v = 10—3 = 7. Для

полученных значений X2 и v с помощью прило­

жения 3 определим соответствующее значение

р(Х2) > 0,99. Следовательно, с вероятностью 0,99 можно утверждать, что величина, имею­ щая распределение X2 с v степенями свободы,

превзойдет данное значение X2. Это указывает

на согласованность теоретического и статисти­ ческого распределений и правдоподобность ги­

потезы о том, что производительность труда

распределяется по нормальному закону. Имею­

щееся расхождение между теоретическим и ста­ тистическим распределениями является несу­

щественным, случайным.

При обнаружении существенных расхож­ дений между выравнивающей функцией распре­ деления и статистическими данными необходимо частоты крайних интервалов ряда распределе­ ния, представляющих собой обычно малые чис­ ла, объединять между собой так, чтобы в каж­ дом интервале было не меньше пяти наблюде­

ний [3].

Более простое правило оценки расхождения между теоретическим и статистическим распре­

делениями с помощью критерия согласия Пир­ сона предложено В. И. Романовским. Сущность этого правила [2] заключается в том, что при

|Х2

У 2v

> 3 расхождение можно считать суще-

ственным; при 1Ха- у | < 3 расхождение мож-

У 2v

но считать случайным

3 7

Для рассматриваемого ряда распределения производительности труда (%2 = 1, 2; v == 7)

Следовательно, гипотеза о том, что опытные данные по производительности труда распре­ деляются по нормальному закону, является правдоподобной.

На рис. 1 приведены примеры построения

гистограмм и кривых нормального распределе­

ния по некоторым показателям материальнотехнических условий шахт, на которых пре­

обладает выемка угля комбайнами.

Рассматривая характер изменения приве­

денных гистограмм и кривых нормального

распределения, можно сделать вывод, что рас­ сматриваемые совокупности в основном подчи­ няются нормальному закону. Наибольшую вы­

соту кривые нормального распределения имеют

над точкой, которая соответствует средней ариф­ метической ряда исследуемых показателей по горизонтальному масштабу. Правые ветви кри­ вых нормального распределения асимптотиче­ ски приближаются к оси абсцисс.

Нарастание частот в рядах распределения

происходит на меньшем участке и более быстро, чем их убывание после максимальной частоты.

Отсутствие начала левого крыла у некоторых кривых объясняется отсутствием на практике

отрицательных и меньших, чем получено по

выборке, значений анализируемых показа­ телей.

Почти во всех случаях наблюдается совпа­ дение вершин гистограмм и кривых нормально-

3 8

Рис. 1. Гистограммы и кривые нормального распреде­ ления для шахт с комбайновой выемкой:

а — себестоимость 1 m угля С; б — производительность пласта р; а — относительная протяженность производимых выработок на 1000 m месячной добычи угля £прОВ; 8 — относительная протя­

женность ремонтируемых выработок на 1000 т месячной добычи угля Lpm .

3 9