ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.04.2024
Просмотров: 146
Скачиваний: 3
10,000000000 |
1 |
3,162277660 |
0,5 |
1,778279410 |
0,25 |
1,333521432 |
0,125 |
1,154781985 |
0,0625 |
1,074607828 |
0,03125 |
1,036632928 |
0,015625 |
1,018151722 |
0,0078125 |
1,009035405 |
0,00390625 |
1,004507364 |
0,001953125 |
1,002251148 |
0,0009765625 |
1,001124941 |
0,000488286 |
1,000562313 |
0,000244143 |
1,000281117 |
0,000122071 |
1,000140599 |
0,000071035 |
1,000070272 |
0,000030518 |
1,000035136 |
0,000015259 |
1,000017567 |
0,000007630 |
1,000008784 |
0,000003815 |
1,000004392 |
0,000001907 |
1,000002196 |
0,000000953 |
1,000001098 |
0,000000477 |
1,000000549 |
0,000000238 |
1,000000274 |
0,000000119 |
Пусть теперь требуется найти десятичный логарифм от числа а > 1, < 1 0 . Число а или должно встретиться между корнями на левой стороне черты, и тогда
log а = 2~п,
где п — целое положительное число, или а
|
будет заключаться, между двумя кор |
|
нями так, что |
158 |
2~п < log а < 2- '1+1, |
следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
log а = |
2~п Jr log (а • 10~2_"). |
|
|||||||
Здесь |
число а -10~2~" = а' |
снова |
> |
1 (ст. |
165), |
|||||
потому что |
log а > |
2~п, |
и снова |
найдем или |
||||||
|
log а! = |
2~т I-log (а' • 10-2“"!), |
|
|||||||
где целое число |
т > п, потому что |
|
|
|||||||
|
2~п 1 > 2~п -f 2~т+ |
log (а ■10- 2-т), |
|
|||||||
|
|
log (а' • 10-2~'") > 0. |
|
|
||||||
Так продолжая, |
или получим |
|
|
|
|
|||||
или |
log а = 2~п + |
2~т + |
2~г -! - ... + 2~р, |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
log а > 2~п + |
2~т + |
2 -г -Ь . . . + 2- р. |
|
||||||
|
log а < |
2~~п + |
2~т+ 2“ Ч - . . . + |
2~Р+', |
||||||
где |
целые |
числа |
т > п, |
г > |
т |
и |
т. д. |
Если |
||
log а |
не будет |
найден |
строго, то по крайней |
|||||||
мере |
последний |
показатель |
р |
можно сделать |
||||||
как угодно великим и, следовательно, принимая |
||||||||||
ту или другую сумму за log а, допустим ошибку |
||||||||||
менее, нежели 2- р. |
|
|
взять |
такое |
целое |
|||||
Когда а > 10, |
то стоит |
|||||||||
положительное число и, |
чтобы а -10_"> 1, |
< 10, |
||||||||
найти log(a-10~u), и тогда |
|
|
|
|
||||||
|
|
log а = и + |
log (а - 10-и). |
|
||||||
Например, |
надо найти |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
log (1024) = |
3 + log (1,024) |
|
||||||
|
|
T f 5 r i W = |
1.005744013 |
159 |
1,005744013 1,001231098
1,004507364
1,001231098 1,000106038
1,001124941
1,000106038 1,000035764
1,000070272
1,000035764 1,000000629
1,000035135
1,000000629
1,000000080
1,000000549
1,000000080
1,000000011
1,000000069
1,000000011 1,000000002
“1,000000009
Складываем показатели, соответствующие знаме нателям в таблице:
0,0078125
0,001953125
0,000488286
0,000030518
0,000015259
0,000000238
0,000000030 ,; 0,000000004 0,000000001
log (1,024) = 0,010299960; log(1024) = 3,01029996.
Число 1024 = 210, следовательно, log 2 = 160 = 0,301029996».
Второй видоизмененный метод Бригса
При вычислении логарифмов с трехзначной мантиссой можно применять один из приемов, которым пользовался Бригс для облегчения вычислительной работы при составлении своей
таблицы |
логарифмов. Например, найдем |
lg 2. |
||||||
Возьмем |
равенство |
210 = |
1024. |
Прологарифми |
||||
ровав его, |
получим |
10 lg 2 = lg |
1024, откуда |
|||||
|
|
|
lg 2 |
lg 1024 |
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
Мы можем считать, что приближенно (с точ |
||||||||
ностью |
до |
двух цифр) |
lg 1024 равен |
lg 1000, |
||||
и тогда |
lg 2 ^ |
0,30. |
Ошибка, |
допущенная |
при |
|||
замене |
числа |
1000 |
на |
1024, |
равна |
0,024 |
от |
|
1000. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Сейчас уместно вспомнить следующее: не большую прибавку логарифма можно считать пропорциональной соответствующей прибавке числа.
Исходя из этого положения, нужно будет приближенный результат 0,30 исправить путем
прибавления к |
|
нему |
0,024 |
от |
|
его |
вели |
||
чины: 0,30-0,0024 = 0,000720 ^ |
0,001. |
|
|||||||
Итак, |
lg2 = |
0,30 + |
0,001 = 0,301. |
только |
|||||
Аналогично |
|
вычисляется |
lg 3, |
но |
|||||
надо исходить |
из равенства |
34 = 81. |
lg 5 = |
||||||
Логарифм 5 находится просто, так как |
|||||||||
- lg lO — lg 2 = |
1 — 0,301 — 0,699. |
пользовался |
|||||||
Для |
нахождения |
lg 7 |
Бригс |
||||||
равенством |
74 = |
2401. |
|
|
воспользоваться |
||||
Чтобы |
|
найти |
lg 11, надо |
||||||
равенством |
992 = |
9801, |
З2-II2^ |
1800, откуда |
|||||
|
|
|
|
112 |
72- 2 - 100 |
|
|
|
11 Г. К. Остапов
сг>
hO
N |
0 |
1 |
| |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,0 |
000 |
004 |
|
009 |
013 |
017 |
021 |
025 |
029 |
033 |
037 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
041 |
045 |
|
049 |
053 |
057 |
061 |
064 |
068 |
072 |
076 |
|
|
ig - |
= |
0,497 |
|
|
||
1,2 |
079 |
083 |
|
086 |
090 |
093 |
097 |
100 |
104 |
107 |
111 |
|
|
lg 2 |
: = |
0,798 |
|
|
||
1,3 |
114 |
117 |
|
121 |
124 |
127 |
130 |
134 |
137 |
140 |
143 |
|
|
lg |
V 2 - |
0.150 |
|
|
||
1,4 |
146 |
149 |
|
152 |
155 |
158 |
161 |
164 |
167 |
170 |
173 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
lg |
V 3 |
0,239 |
|
|
|||||||||||||
1,5 |
176 |
179 |
|
182 |
185 |
188 |
190 |
193 |
196 |
199 |
201 |
|
|
|
|
|||||
1,6 |
204 |
207 |
|
210 |
212 |
215 |
217 |
220 |
223 |
225 |
228 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.7 |
230 |
233 |
|
236 |
238 |
241 |
243 |
246 |
248 |
250 |
253 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
1.8 |
255 |
258 |
|
260 |
262 |
265 |
267 |
270 |
272 |
274 |
276 |
|||||||||
1,9 |
279 |
281 |
|
283 |
286 |
288 |
290 |
292 |
294 |
297 |
299 |
2 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
2 |
301 |
322 |
|
342 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
6 |
8 |
10 |
12 |
14 |
16 |
18 |
|
|
362 |
380 |
398 |
|
|
|
|
2 |
4 |
5 |
7 |
9 |
11 |
12 |
14 |
i6 |
||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
415 |
431 |
447 |
462 |
2 |
3 |
5 |
6 |
81 |
10 |
11 |
13 |
14 |
3 |
477 |
491 |
|
505 |
519 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
6 |
7 |
8 |
10 |
11 |
12 |
3 |
|
|
|
|
|
531 |
544 |
556 |
568 |
580 |
591 |
|
2 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
10 |
и |
4 |
602 |
613 |
|
623 |
633 |
643 |
653 |
|
|
|
|
|
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
663 |
672 |
681 |
690 |
|
2 |
3 |
4 |
5 |
5 |
6 |
7 |
8 |
5 |
699 |
708 |
|
716 |
724 |
732 |
740 |
748 |
756 |
763 |
771 |
|
2 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
6 |
7 |
6 |
778 |
785 |
|
792 |
799 |
806 |
813 |
820 |
826 |
833 |
839 |
|
1 |
2 |
3 |
3 |
4 |
5 |
5 |
6 |
7 |
845 |
851 |
|
857 |
863 |
869 |
875 |
881 |
886 |
892 |
898 |
|
1 |
2 |
2 |
3 |
3 |
4 |
5 |
5 |
8 |
903 |
908 |
|
914 |
919 |
924 |
929 |
935 |
940 |
944 |
949 |
|
1 |
2 |
2 |
3 |
3 |
4 |
4 |
5 |
9 |
954 |
959 |
|
964 |
968 |
973 |
978 |
982 |
987 |
991 |
996 |
0 |
1 |
1 |
2 |
2 |
3 |
3 |
4 |
4 |
|
0 |
1 |
|
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
i 2 3 4 5 6 7 8 9 |
Прологарифмировав |
последнее приближенное |
|
равенство, получим |
|
|
|
lg j ! ^ 2 1§ 7 ~Ь lg 2 + 2 — 2 lg 3 |
|
Для |
нахождения |
lg 13 исходим из равенства |
133 = 2197 ^2200 . |
lg 17 записываем 173 — |
|
При |
вычислении |
= 4913^4900 и т. д. Логарифмы трехзначных чисел (111 и т . д.), за исключением 101, 102 и других, вычисляются путем пропорциональ ного изменения логарифмов чисел ПО и т. д.
Логарифмы чисел 101, 102 и других вычис ляются при помощи равенств 1012 = 10201 ^ ^ 10200 = 2-3-17-100.
Логарифмы составных чисел определяются очень просто, а именно,- как суммы логарифмов простых чисел.
Итак, мы видим, что трехзначную таблицу логарифмов очень легко вычислить, она под силу ученику средней школы.
Таблица трехзначных логарифмов была со ставлена английским физиком Лоджем и усо вершенствована советским математиком Я- И. Пе рельманом путем прибавления готовых поправок [23]. Эту таблицу мы и приводим (см. стр. 162).
Метод Саррюса
В 19 в. французским математиком Саррюсом (1798— 1861) был предложен элементарный ме тод вычисления логарифмов. Этот метод основан
на двоичной системе счисления. |
В двоичной сис |
теме умножение на 2 выполняется весьма легко: |
|
достаточно перенести запятую |
на одну цифру |
вправо. |
163 |
11
Пусть |
10х = N, |
(9) |
откуда |
-V= \gN. |
|
Характеристика логарифма находится по из |
||
вестному |
правилу. Пусть характеристика лога |
|
рифма равна п. Мантисса |
в двоичной системе |
|
счисления |
будет xt х2 х3 ... |
, где хи х2, х3, ... — |
нули или единицы.
Подставив в равенство (9) вместо х его зна
чение п, хг х2 |
х3 |
... |
, |
получим |
|
|
||
\Qn,xtx2х3 ... _ |
ДГ или |
10" • Ю0’х‘Х!Хз "• = N . |
||||||
Разделив |
обе |
части |
последнего |
равенства |
||||
на 10я, найдем |
|
|
|
= |
N : 10". |
|
||
|
Ю°. льад, - |
|
||||||
Если обозначить N : 10" через Nlt то по |
||||||||
следнее равенство |
можно переписать в виде |
|||||||
|
|
Ю°, |
|
- |
= Nv |
|
||
Возведя в квадрат |
обе |
части |
этого |
равенства, |
||||
получим |
|
10х,,ХзХ |
|
= А/?, |
|
|||
|
|
|
|
|||||
где х1— характеристика логарифма числа N2U |
||||||||
|
_ |
I |
1 , если |
Mi >10, |
|
|||
1 |
' |
0, |
если |
N2< 10. |
хх, делим |
|||
После того |
как |
найдена |
цифра |
обе части последнего равенства на 10Xi и полу чаем
|
|
|
100, ЛЬЯЛ ... = Л/2. |
|
|
|
|
Аналогично |
находим х2. |
найти |
про |
||
|
Таким |
способом мы |
можем |
|||
извольное число цифр логарифма, |
который |
бу |
||||
дет |
записан |
в двоичной |
системе |
счисления, |
но |
|
от |
последней |
нетрудно |
перейти |
к десятичной |
164 системе счисления.