ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.04.2024
Просмотров: 144
Скачиваний: 3
Рассмотрим пример. Вычислить lg 5. Находим
10* = 5, п = О, |
10°' |
|
••• = |
5. |
|
||
Возведя в квадрат, |
получим |
|
|
|
|
||
|
10***’*» - |
= |
25, |
ду = |
1, |
|
|
Тогда |
так как |
2 5 > |
10. |
|
|
|
|
101- Х 2Х 3 Х 4, . . . |
25. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
||||
Разделив обе части |
равенства на |
10, |
найдем |
||||
|
ЮО.ад*. ... _ 2,5 . |
|
|
|
|||
Возведя в квадрат, получим |
х2 = 0, |
|
|
||||
10*2*3*.*а |
= |
6,25, |
|
|
|||
так как 6,25 < 10. |
|
|
|
|
|
||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
ЮО. а д * .... — 6,25. |
|
|
|
|||
Возведя в квадрат, |
найдем |
|
|
|
|
||
|
Ю*з.*.*з- = 39,06. |
|
|
|
|||
Продолжая этот процесс, получаем: |
|
|
|||||
*з = |
1, |
|
|
|
х7 — 1, |
||
100-**** ... = |
3,906, |
|
|
10о. ад... = 2,942, |
|||
10*- *° - = 15,26; |
|
|
10*«. *»... = |
8,554; |
|||
х4 = |
1, |
|
|
|
х8 = 0, |
||
10о. ад, - = |
1 526, |
|
|
10°, *»*ю ••• = |
8,554, |
||
10*5,*.... = |
2,329; |
|
|
Ю*.. *ю |
— 73,17; |
||
х5 = |
0, |
|
|
|
* 9 = |
1, |
|
10о. ад... * 2,329, |
|
|
10°- |
|
= |
7,317, |
|
10*.. *, ••• = |
5,424; |
|
|
Ю*ч>. *и ... = |
53,54; |
||
хв— 0, |
|
|
|
А"10— 1. |
|||
шо. ад ... = 5 ,424, |
|
|
|
|
|
|
|
Ю*,.*. ... = |
29,42; |
|
|
|
|
|
165 |
Таким образом, хгх^хг ... х10 — = 0,1011001011. Теперь нужно перейти от дво
ичной системы счисления к десятичной. |
Необ- |
|||||
ходимо подсчитать сумму |
|
|
||||
1 |
j |
1 , 1 |
, |
|
|
|
2 |
1 23 |
2 4 |
2 7 ' |
2 9 ~ 2 10 ’ |
|
|
При помощи следующей таблицы будет лег |
||||||
че найти сумму: |
|
|
|
|
||
Двоичная |
дробь |
П оказатель |
Равная ей десятичная |
|||
степени |
дробь |
|
||||
0,1 |
|
|
|
1 |
0,5 |
|
0,01 |
|
|
|
2 |
0,25 |
|
0,001 |
|
|
|
3 |
0,125 |
|
0,0001 |
|
|
|
4 |
0,0625 |
|
0,00001 |
|
|
|
5 |
0,03125 |
|
0,000001 |
|
|
|
6 |
0,015625 |
|
0,0000001 |
|
|
7 |
0,0078125 |
|
|
0,00000001 |
|
|
8 |
9,00390625 |
|
|
0,000000001 |
|
|
9 |
0,001953125 |
|
|
0,0000000001 |
|
|
10 |
0,0009765625 |
||
Итак, |
|
0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0,125 |
|
|
|
|
|
|
0,0625 |
|
|
|
|
|
|
0,0078125 |
|
|
||
|
|
0,001953125 |
|
|
||
|
|
0,0009765625 |
|
|
||
|
|
0,6982421875 |
|
|
||
Таким |
образом, |
lg 5 ^0,698 . |
было |
|||
Заметим, |
что |
возведение |
в квадрат |
|||
166 выполнено приближенно.
Метод этот является интересным, вполне до ступным учащимся средней школы, но перед тем как его изучать, надо ознакомить учеников с двоичной системой счисления.
Метод непрерывных дробей
Непрерывные дроби представляют собой до вольно простой метод приближенного вычисле ния логарифма какого-нибудь числа. Этот метод был открыт в 1717 г. Тейлором.
Положим, что нужно определить логарифм числа 2 при основании 10.
Обозначим логарифм числа 2 через |
так |
|||
что 10 * |
= 2. Возведя в |
степень х обе |
части |
|
равенства, получим |
10 = |
2х. |
|
|
Нетрудно заметить, что х содержится между |
||||
3 и 4. |
Положив |
х — 3 -J----- , найдем |
10 = |
|
03+— |
0— |
Ю |
|
|
— 2 |
или 2 *» = |
-g-, отсюда |
|
|
Заметив, что хл |
содержится между 3 |
и 4, |
||
положим |
|
|
|
|
xi — 3 + — •
Х2
Найдем
т У ' |
16 7 |
отсюда
_5_ _ 1125\Хг
4 — I 128/
ИТ . Д .
Врезультате получим следующие равенства:
х = 3 + — , хг — 3 + —-, х2 — 9 + — ,
A j А2 Аз
xs — 2 — , х4 = 2 -f- — , ^5 = 4 + — •
А4 |
Л5 |
Ag |
Для lg 2 записываем выражение в виде не прерывной дроби
lg 2 =
3 +
Подходящие дроби будут:
1 3 28 146 643
У ’ 1 0 ’ 9 3 ’ 485’ 2136 ’ "•
Итак,
W " - 0’30103-
Трудность этого метода заключается в воз ведении дробных чисел в довольно высокие сте пени.
Если не пользоваться понятием непрерывной дроби, то изложение по этому методу в конце
• . следует несколько изменить, а именно: после
1б8 нахождения х5 = 4 + |
замечаем, что lg 2 |
нельзя точно вычислить, а поэтому, не продол жая действия, принимаем х5 =* 4. Тогда
* 5 := 4, *4 = 2 +
|
•— |
II |
<LD |
■ |
|
|
* з |
= |
2 |
+ |
4 |
22 |
п , |
9 |
207 |
“9“ =~ |
9 ’ |
%2 ~ =9 + |
22 ~ |
~22 ’ |
||||
*1 |
= |
3 |
+ |
22 |
643 |
О , |
207 |
2136 |
207 "" |
207’ |
X — 3 + бТз = |
64+ |
|||||
Итак,
Обратив эту дробь в десятичную, получим
lg 2 = 0,30103.
Изложенный метод можно использовать на за нятиях в кружке.
Метод решения неравенств
Этот метод вычисления логарифмов досту пен ученикам средней школы и может быть использован на занятиях в математическом круж ке, но он является довольно громоздким.
Для того чтобы пользоваться этим методом, необходимо знать формулы сокращенного умно
жения; lg(a+ ) = lga + \glr, lg (-|-j = lga—lgft;
уметь разлагать числа на простые множители; решать неравенства.
Дадим далее краткое изложение этого ме тода.
Рассмотрим основные формулы, при помощи которых вычисляются логарифмы.
С увеличением положительного числа х уве-
личивается и lgx. Из неравенства х" > х2—1 (при х > 1) получим
21g x > lg(x — 1) + lg (* 4- 1).
Если перенесем члены неравенства в одну сторону, то найдем
— lg (х — 1) + 2 lg а: — lg (х + 1) > 0. ( 10)
Данное неравенство связывает логарифмы трех каких угодно последовательных целых чисел. Далее получим неравенство, связыва ющее логарифмы четырех последовательных чисел.
Возьмем неравенство
х3 (х + |
2) > (х -f- I)3(х — !)• |
|
|
|
||
Так как левая |
часть |
этого |
неравенства |
|
дает |
|
х4 4- 2х3, а правая х4 f |
2х3— 2х — 1, то |
левая |
||||
часть на 2x4-1 |
больше его правой |
части. |
Из |
|||
этого неравенства получим |
. |
|
|
|
||
|
X3 (X+ |
2) |
|
|
|
|
(*+ 1)3(х— 1) |
^ ■ |
х > |
|
|
||
Логарифмируя это неравенство, при |
1 |
на |
||||
ходим |
|
|
|
|
|
|
— lg(x — 1) -f 31gx — 3 lg (x -p |
|
(11) |
||||
E 1) 4- lg {x + 2) > 0. |
|
|
||||
Аналогично можно вывести неравенство, связывающее логарифмы пяти последовательных чисел, а именно:
— lg (х — 2) 4- 4 lg (х — 1) — 6 lg х -f |
(12) |
4 1 g(x+ 1) — lg (х 4- 2) > 0. |
Рассматриваемый метод элементарного вы числения границ, между которыми должны заключаться логарифмы целых чисел, состоит 170 в том, чтобы, применяя основные формулы (10),
