ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.04.2024
Просмотров: 148
Скачиваний: 3
7 |
< |
-V < |
|
0,4375 < .v < 0,5 |
16 |
|
|||
|
|
|
|
|
32 < |
X < |
|
0,46875 < x < 0,5 |
|
15 |
|
^ |
_31_ |
0,46875 < x <0,484375 |
32 < |
64 |
|||
977 |
|
|
489_ |
0,477051 < x <0,477539 |
2048 |
|
^ "V ^ |
1024 |
|
|
|
|||
Для экономии времени при вычислении лога рифмов ограничиваются вычислением их с точ ностью до 0,01 или 0,001 и лучше, конечно, брать небольшие числа.
Первый видоизмененный метод Бригса
Для вычисления натурального логарифма 10 Бригс предварительно извлекал 54 раза квад ратный корень из 10 и составил соответствую щую таблицу. Можно воспользоваться этой таблицей и элементарным методом вычислить десятичный логарифм.
Сущность этого метода заключается в сле
дующем: необходимо то число, |
логарифм кото |
||||
рого мы |
ищем, |
представить |
в виде |
степени |
|
с основанием 10, а для этого можно восполь |
|||||
зоваться |
таблицей |
для |
v 10, |
где п = |
2, 4, 8, |
16, . . . Точность, с которой вычисляется лога |
|||||
рифм числа, выражается |
последней из |
взятых |
|||
в показателе дроби ~^т- |
|
|
|
Прежде чем дать |
примеры |
на |
вычисление |
логарифмов чисел по |
этому методу, приведем |
||
необходимую часть таблицы у |
10: |
153 |
|
у 10 = 1 0 2 = |
io0’500000000 = |
3,16227660 |
||||
t |
Ш = |
1 0 4 |
= |
Ю 0'250000000 |
= |
1 ,7 7 8 2 7 9 4 1 0 |
t |
TO = |
1 0 8 |
= |
1 0 ° '125000000 |
— |
1 ,3 3 3 5 2 1 4 3 2 |
|
|
j_ |
|
|
|
|
|
TO = |
1 0 1 6 = |
Ю 0’062500000 = |
1 ,1 5 4 7 8 1 9 8 5 |
||
3^Ш = |
1032 = |
Ю0'031250000 = |
1,074607828 |
|||
|
и т. д. |
|
j o 0 ' 0 1 5 6 2 5 0 0 0 |
= |
1,036632928 |
|
|
|
|
|
jqO,007812500 |
= |
1,018151722 |
|
|
|
|
100,003906250 |
= |
1,009035405 |
|
|
|
|
I qO,001953125 |
= |
1,004507364 |
|
|
|
|
l0o,000976563 |
_ |
1,002251148 |
|
|
|
|
100,000488281 |
= |
],ooi 124941 |
|
|
|
|
100,000244141 |
= |
1,000562313 |
|
|
|
|
j q O.ooo122070 |
= |
1,000281117 |
|
|
|
|
100,000061035 |
= |
1,000140599 |
|
|
|
|
l0o,000030518 = 1,000070272 |
||
|
|
|
|
10°,000015259 |
= |
1,000035135 |
|
|
|
|
l0o,000007629 |
= |
1,00001 7568 |
|
|
|
|
100,000003815 |
= |
1,000008784 |
|
|
|
|
100,000001907 |
= |
1,000004392 |
|
|
|
|
jqO,000000954 = 1,000002196 |
||
|
|
|
|
10o,060000477 = 1,000001098 |
||
|
|
|
|
10°’000000238 |
= |
1,000000549 |
|
|
|
|
10o.ooooooii9 = |
1,000000275 |
|
|
|
|
|
1Q0.000000060 |
= |
1 ,0 0 0 0 0 0 1 3 7 |
При помощи этой таблицы можно вычислить 1 5 4 логарифмы числа с восьмизначной мантиссой.
Рассмотрим |
пример: |
вычислить lg 2 |
с трех |
||||
значной |
мантиссой. |
число |
1,778, |
наиболее |
|||
Взяв |
из |
таблицы |
|||||
близкое с недостатком к числу 2, положим: |
|||||||
2 |
= |
1,778-х, |
|
|
|
||
2 |
зг 10°’250- 1,125 (снова пользуемся таблицей), |
||||||
1.125 = 1,075-Xi, |
|
|
|
||||
1.125 ^ |
ю0-031• 1,046, |
|
|
||||
1.046 = |
1,037-х2, |
|
|
|
|||
1.046 ^ |
100-016- 1,009, |
|
|
||||
1 ,009^ |
100-004, |
|
1о0-301 |
|
|||
2 ~ ю 0,250- Ю0-031- Ю0,016- 1о0-004 = |
|
||||||
lg 2 ^0,301. |
|
|
|
|
|||
Заметим еще, что для вычисления лога |
|||||||
рифма по этому |
методу можно |
воспользоваться |
|||||
и другой готовой таблицей ^ 10, (см. стр. 156).
При помощи этой таблицы можно вычислить логарифм числа не более чем с пятизначной мантиссой. Чтобы вычислить мантиссу с боль шим числом знаков, таблицу необходимо соста вить с большим числом десятичных знаков.
Приведем вычисление lg 2. Вычислим вначале lg 2 с двузначной мантиссой:
2 =^ 1,58-1,26 io°'20- 100-10= 100-30; lg 2 |
0,30. |
Далее найдем lg 2 с трехзначной мантиссой:
2 |
» |
1,995-1,002 ^ |
10°-300-10°-001 = |
10°-301; |
|
|
lg 2 ^ |
0,301. |
|
Затем |
найдем lg 2 |
с четырехзначной ман |
||
тиссой: |
|
|
|
|
2 |
1,9953-1,0024^ Ю0-3000- Ю0'0010 = |
Ю0-3010; |
||
|
|
lg 2 ^ |
0,3010. |
155 |
<л 05
|
|
|
|
П оказатель |
степени |
|
|
|
|
Число |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10е ’1 |
1,25893 |
1,58489 |
1,99526 |
2,51189 |
3,16229 |
3,98107 |
5,01187 |
6,30957 |
7,94328 |
юО.01 |
1,02331 |
1,04713 |
1,07152 |
1,09648 |
1,12202 |
1,14815 |
1,17490 |
1,20227 |
1,23027 |
100,001 |
1,00231 |
1,00462 |
1,00693 |
1,00925 |
1,01158 |
1,01399 |
1,01625 |
1,01859 |
1,02094 |
100,0001 |
1.00023 |
1,00046 |
1,00069 |
1,00092 |
1.00115 |
1,00138 |
1,00161 |
1,00189 |
1,00207 |
100,00001 |
1,00002 |
1,00004 |
1,00006 |
1,00009 |
1.00012 |
1,00014 |
1,00016 |
1,00019 |
1.00021 |
Наконец, найдем lg2 с пятизначной мантиссой:
2 — 1,99526 -
2as 100’3- 1,00238;
1,00238 = 1,00231 -Xi,
1,00238 яв 100’001• 1,00007 ^ 10°-001 • Ю0'00003;
2 ^ 100'3-1 о0-001• Ю0,00003 = Ю0'30103.
Итак,
lg 2 ^ 0,30103.
Как видим, этот метод вычисления лога рифмов является убедительным, наглядным и доступным для учащихся средней школы. При этом необходимо пользоваться готовой таблицей (одной из двух приведенных, лучше — первой).
Заметим, что этот метод был избран великим русским математиком Н. И. Лобачевским при вычислении им десятичного логарифма числа 2.
Приведем |
выдержку |
из |
его |
работы |
[22, |
||
стр. |
219—229]: «. . . Можно видеть, как |
много |
|||||
таблицы |
логарифмов |
сокращают |
вычисление. |
||||
Для |
составления |
самих |
таблиц |
существуют |
|||
различные способы, |
из |
которых предложенный |
|||||
в 175-й статье как доказательство возможности определить логарифм всякого числа делается несравненно уже легче, когда постепенным извле чением квадратного корня заменяем здесь отыс кивание десятичных долей в показателе.
В прилагаемой таблице по левую сторону черты поставлены значения постепенно извлекае мого квадратного корня от 10, а на правой — соответствующий показатель степени от того же основания логарифмов
