ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.04.2024
Просмотров: 139
Скачиваний: 3
Вычислим для дробных чисел мантиссы, огра- > ничиваясь двумя десятичными знаками. Возьмем следующую первоначальную таблицу:
lg N |
0 |
1 |
Сделаем три последовательных уплотнения этой таблицы путем введения средних арифме тических и средних геометрических.
Первоначальная таблица после первого уплотнения:
N |
|
|
|
|
|
3,162 |
|
10 |
|
lg |
N |
|
0 |
|
|
0,5 |
|
1 |
|
|
|
|
|
V 1- ю = 3,162]. |
|
|
|||
После второго |
уплотнения: |
|
|
|
|
||||
N |
|
|
1 |
1,778 |
|
3,162 |
5,623 |
|
10 |
lg N |
|
|
0 |
0,25 |
|
0,5 |
0,75 |
|
1 |
После третьего уплотнения: |
|
|
|
|
|||||
N |
1 |
1,334 |
1,778 |
2,371 |
3,162 |
4,217 |
5,623 |
7,499 |
10 |
lg N |
0 |
0,125 |
0,250 |
0,375 |
0,500 |
0,625 |
0,750 |
0,875 |
1,000 |
Не будем дальше уплотнять таблицу, а найдем логарифмы чисел 11; 12; 13, ... по графику. График построим поданным последней таблицы. На оси абсцисс отложим числа, а на оси орди
нат—их логарифмы (рис. 11). По данному графику 177
12 Г. К. О с та п о в
можно найти таблицу логарифмов чисел первой сотни. Логарифмы будут вычислены с двумя десятичными знаками.
Графический метод вычисления логарифмов отличается малой точностью, отнимает много времени, поэтому с ним лучше ознакомить уча щихся на занятиях математического кружка.
Глава
О методике преподавания показательной функции и логарифмов в средней школе
Методы изложения § 1. теории логарифмов
в учебной и методической литературе для средней школы
Прежде чем перейти к рассмотрению мето дики преподавания учения о логарифмах в сред ней школе, кратко остановимся на методах изложения теории логарифмов.
В начале 20 в. основные свойства логариф мов рассматривались главным образом в связи с сопоставлением арифметической и геометри ческой прогрессий. Таким образом, преподава ние отражало исторический путь возникновения
логарифмов. |
теория |
в ряде пособий. На |
||
Так |
излагается |
|||
пример, |
А. Н. Глаголев |
[25] берет прогрессии: |
||
|
-гМ , q, q2, |
<73......... q”, |
||
|
-4-0 г, |
2г , |
3г, |
... , п г |
и дает |
такое определение |
логарифма: каж дый |
||
член арифметической прогрессии называется 179
12*
логарифмом соответствующего члена геометри ческой прогрессии. Затем автор выводит основ ные свойства логарифмов.
Такой метод изложения теории логарифмов является неудовлетворительным, так как одно сопоставление прогрессий не может служить теоретической основой для формирования об щего понятия о логарифме. В самом деле, если сопоставить члены арифметической прогрессии (логарифмы) с соответствующими членами гео метрической, то логарифмы последних будут
определены |
лишь для дискретного |
ряда чисел |
|
и останется совершенно неясным, |
что следует |
||
понимать под логарифмом числа, |
не |
содержа |
|
щегося в |
геометрической прогрессии. |
В таком |
|
представлении о логарифме не будет достаточ ной общности, а чтобы дать общее определение логарифма, нужно иметь в виду функциональ ную связь между непрерывно меняющимися величинами.
В учебнике А. Ю Давидова [26], широко распространенном в русской дореволюционной школе, теория логарифмов тесно связана с про грессиями. Так, автор рассматривает такую за
дачу: между двумя числами а и b |
вставить т |
||
средних геометрических. |
|
логарифмах |
|
В начале изложения учения о |
|||
дается обычное определение логарифма: лога |
|||
рифмом какого-нибудь числа называется пока |
|||
затель степени, в которую |
нужно |
возвести ос |
|
нование, чтобы получить число. Затем из опре |
|||
деления логарифма выводятся основные свойства |
|||
логарифмов. |
|
следующей |
|
Далее |
дается доказательство |
||
180 теоремы: |
когда логарифмы |
чисел |
составляют |
арифметическую прогрессию, то соответствую щие им числа—геометрическую. После этой тео ремы идет доказательство основной теоремы теории логарифмов, а именно: всякое положи тельное число имеет логарифм. Доказательство этих теорем основано на прогрессиях и теории пределов. Затем идет доказательство четырех теорем: о логарифме произведения, частного, степени и корня.
Далее рассматриваются следующие вопросы: модуль перехода от одной системы логарифмов к другой, соизмеримость и несоизмеримость
логарифмов чисел |
с единицей, вычисление ло |
|||
гарифмов при |
помощи |
непрерывных |
дробей |
|
и т. д. |
в |
учебнике Давидова |
изложен |
|
Материал |
||||
на довольно |
высоком |
теоретическом |
уровне, |
|
однако наряду с этой .положительной стороной следует отметить следующий недостаток: общая теория логарифмов не исследуется с точки зре ния функциональной зависимости двух величин.
Рассмотрим далее еще один метод изложе ния теории логарифмов—степени и логарифмы.
В некоторых учебниках по алгебре [27, 28] изложение теории логарифмов авторы начинают с рациональных показателей степени, а затем переходят к понятию иррациональных показа телей. После этого дается обычное определение логарифма, а затем — доказательство существо вания логарифма (доказательство ведется на ос нове теории пределов и теории иррационального числа). Вслед за этим выводятся основные свойства логарифмов, теоремы логарифмирова ния частного, степени и корня и т. д.
Недостаток этого метода заключается в том, 181
что неясно выражена идея функциональной зависимости, кроме того, отсутствует графичес кое изображение функций. Если устранить эти недостатки, то изложение теории будет вполне строгим и современным, но труднодоступным для учащихся средней школы.
Существует еще концентрический метод из ложения логарифмов [29]. В начале «Концен трического учебника алгебры» содержится гла ва, посвященная обобщению понятия о показа телях. Затем учение о логарифмах разбивается на два концентра, что объясняется трудностью данной темы. В первом концентре к понятию о логарифме подходят с точки зрения сопостав ления двух прогрессий: геометрической и ариф метической. После этого переходят к изложе нию десятичных логарифмов, предварительно установив понятие о логарифме как о показа
теле |
степени, в которую необходимо возвести |
10, |
чтобы получить данное число. Дается до |
казательство теорем о логарифме произведения, частного, степени и корня. Затем излагаются свойства десятичных логарифмов чисел и объяс няется, как пользоваться логарифмическими таблицами.
На базе первого |
концентра во втором кон |
||
центре изучается общая теория логарифмов с |
|||
точки зрения функциональной зависимости двух |
|||
величин, |
что характерно для английских и фран |
||
цузских |
школ. |
|
|
Отметим, что данный метод изложения тео |
|||
рии логарифмов нельзя применить в нашей |
|||
средней |
школе, так |
как программа по |
алгебре |
не предусматривает |
концентрического |
изучения |
|
182 теории логарифмов
Теперь перейдем к краткой характеристике современного метода изучения теории логариф мов с точки зрения функциональной зависи мости величин.
Преподавание алгебры в школах с начала 20 в. основывается на базе функциональной
зависимости величин, а поэтому |
и теория |
ло |
|
гарифмов строится на той же базе. |
|
||
Все действия |
с показателями |
объединяются |
|
в одну главу и |
рассматриваются |
в связи |
с по |
казательной функцией. Логарифмическая функ ция (как обратная показательной) изучается после показательной.
Такой метод изложения теории является на иболее рациональным, так как понятие о функ
ции доминирует |
в современной математике |
|
и должно играть |
руководящую роль |
в курсе |
алгебры средней школы, в частности |
при изу |
|
чении логарифмов. Подобное изложение теории логарифмов содержат очень многие современные элементарные учебники по алгебре.
В учебной и методической литературе су ществует три приема изложения теории лога
рифмов и логарифмической |
функции. |
|||
1. Рассматриваются две прогрессии: арифме |
||||
тическая, например с разностью |
1, |
и геометри |
||
ческая со знаменателем |
2: |
|
|
|
... , - 3, - 2, - |
1, |
0, 1, |
2, |
3, ... |
Сопоставление этих двух прогрессий приво дит к выводу: умножение, деление, возвышение в степень членов геометрической прогрессии 183
