Файл: Остапов Г.К. Логарифмы.pdf

можно заменить сложением, вычитанием, умно­ жением членов арифметической прогрессии. За­ тем вводится понятие логарифма, а далее рас­ сматриваются логарифмы при любом основании и применение логарифмов при вычислениях. Только после этого изучается логарифмическая функция.

2. Вначале дается определение логарифма как показателя степени, а затем рассматриваются логарифмическая функция и применение лога­ рифмов при вычислениях. Эта система изложения

мах начинается с расширения понятия о степени (вводится иррациональный показатель), а изу­ чение показательной функции—с решения зада­ чи на сложные проценты. Затем выводится формула сложных процентов, которая приводит

признать удачной. Сначала перечисляются свой­

рические данные, отсутствует элементарный метод вычисления логарифмов и не дается до­ казательство существования логарифма.

В пробном учебнике алгебры Д. К. Фаддеева и И. С. Соминского [32] главы об обоб­ щении понятия показателя степени, о показа­ тельной функции и логарифмах изложены более удачно, чем в учебнике Киселева. Так, нахож­ дение логарифма числа не рассматривается как действие, обратное возвышению в степень, до­ казывается теорема о существовании логарифма, дается понятие о вычислении логарифмов и устройстве логарифмической линейки.

К недостаткам этого учебника следует от­ нести, например, отсутствие исторического под­ хода к изложению понятия о логарифме. Кроме 185

того, свойства логарифмической функции не иллюстрируются на графике, а элементарный

теоретическом уровне, тем не менее его усвое­ ние из-за сложности языка трудно для уча­

Так, в § 102 даны три больших и трудных для

сумму, ни разность выражать через логарифмы слагаемых или логарифмы уменьшаемого и вы­ читаемого нельзя» [33, стр. 179]. На самом деле, речь идет о логарифме суммы, логарифме разности и логарифмах слагаемых.

Определение показательной функции и таб­ лица значений функции у = 10х (§ 103, 104) неудачны. Совершенно излишним является упо­ минание об антилогарифме (учащиеся еще не имеют понятия о логарифме).

Понятие о функции, обратной для данной, излагается без учета подготовленности учащихся к изучению этого вопроса. Понятие о логариф­ мической функции (§ 109) следовало бы ввести

жены в учебнике неудачно, выводы являются слишком обобщенными. Кроме того, не дается теорема о существовании логарифма.

Методическое руководство § 2. по преподаванию показательной

функции и логарифмов в средней школе

По сложившейся традиции логарифмическая функция в средней школе определяется как об­ ратная показательной. При таком методе изло­ жения показательная функция является осно­ вой построения теории логарифмов.

Логически строгое определение показатель­ ной функции может быть дано только в том слу­ чае, если ученики вполне владеют теорией преде­ лов и теорией иррационального числа. Однако четкого понимания этих вопросов трудно ожи­ дать от учащихся средней школы, так как в них нередко не разбираются студенты первых кур­ сов вузов.

Итак, логически строгое определение пока­

Как же выходят из этого положения авторы учебников для средней школы?

Рассмотрим, например, учебник А. Киселева [30]. При изложении теории автор прибегает к нестрогому и упрощенному ее изложению. Так, рассматривая понятие об иррациональном показателе, он считает существование а* как предела очевидным, а свойства рациональных показателей распространяет и на иррациональ­ ные показатели механически, без доказательства. О замене данного числа степенью любого осно­ вания говорится только следующее: «Есть отделы математики, в которых указываются способы, как можно для всякого данного числа N найти

от этого числа как угодно мало» [30, стр. 108]. В учебнике не дается понятия о методах построения логарифмических таблиц и элемен­ тарного вычисления логарифмов, не прослежен исторический путь открытия и развития лога­

рифмов и т. д.

Как же ознакомить учащихся с логарифма­ ми, не излагая теорию пределов, иррациональ­ ного числа и обеспечить понимание и хорошее усвоение самой идеи логарифмов, как научить учащихся технике логарифмических вычисле­ ний?

Выход из этого положения, на наш взгляд, состоит в следующем: те разделы математики, которые на данном уровне математических зна­ ний учащихся теоретически трудно обосновать, следует изучать путем конкретных вычислений и наглядно-графическим изложением материала.

188 Например, вместо того чтобы доказать сущест-

вование логарифма как иррационального (вообще говоря) показателя, следует этот факт принять без доказательства, ограничившись только фак­ тическими вычислениями этого показателя как

уравнение можно одним из элементарных мето­ дов вычисления логарифмов, например первым видоизмененным методом Бригса (см. гл. V нашей книги).

Учению о логарифмах в учебнике Киселева предшествует глава, которая специально по­ священа обобщению понятия о показателе и показательной функции. Эту главу нужно рассматривать как вступительную к учению о логарифмах, но она имеет и самостоятельное значение.

Так как учение о логарифмах в большой степени базируется на свойствах показательной функции, то учителю очень важно ознакомить учащихся с вопросами, которые связаны с по­ казателем степени. Так, мало внимания уде­

ний имеет выражение с дробным показателем степени? какой смысл имеет степень с показа­ телем иррациональным? Последний вопрос яв­ ляется особенно важным при уяснении понятия о логарифме, так как, за исключением немногих случаев, логарифм иррационален.

Строгое доказательство существования дей189