ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.04.2024
Просмотров: 135
Скачиваний: 3
ствительного показателя (а этим самым дока зательство существования логарифма) для уча щихся средней школы дать невозможно. Теоретическое обоснование того, что каждое
положительное |
число можно представить |
как |
|||
степень любого положительного |
основания, |
||||
не равного единице, базируется |
на |
теории |
пре |
||
делов и теории |
иррационального |
числа, а |
если |
||
эти |
теории не |
проработаны (в 9 |
-м |
классе |
да |
ется |
только понятие об иррациональном числе и |
о пределе), то нельзя доказать существование действительного решения х уравнения
Следует отметить, что большинство уча щихся при поступлении в вуз, решая примеры на преобразование дробей степени с отрицатель ными показателями заменяют дробями, а с дроб ными— радикалами. При этом теряется смысл введения обобщения понятия о показателе сте пени. Для того чтобы у учащихся не было пробела в этой области, учителю необходимо давать примеры на такого рода преобразования.
Приведем несколько примеров. Пример 1. Упростить выражение
1 1 |
1 \ —4 |
Р е ш е н и е .
190
6 |
—4 |
а |
|
Ц 1 |
Т • |
a4 L 4 |
|
Пример 2. Упростить выражение
1 - |
1 |
1 |
1 |
|
j4ft4 |
а 4 — /;4 ■ |
|||
а4 b4 |
\_ _1_
г4 64
Р е ш е н и е .
Обычно учащиеся такой пример решают сле дующим образом:
abL - V r t \ - . ( V a - V |
ь) |
|
||||
V а - 'г t a b |
|
|
|
|
|
|
а 4- t a b 3 — V a |
t a b — уVft3 . ^4/—_ |
* / ft) = |
||||
р' a -f |
|
aft |
|
|
|
|
а -!- | |
aft3 —■у аэ6 — Уaft |
_ |
|
|||
(|/"а"-[- { aft) (» |
a — t |
ft) |
|
|
||
а -j- I |
aft3 — у a3ft — V |
a b |
_ |
|
||
“ I й3 + |
у |
a*ft— 1 |
a3*— v aft2 |
|
|
|
а 4-1 |
a b 3 — t |
— I' aft |
|
|
||
|
|
|/ а3 — у аб2 |
|
|
|
|
и на этом останавливаются. |
|
|
|
|||
Рациональное |
решение: |
|
|
|
|
|
l 4 |
|
|
|
|
|
|
а + а4 6 |
|
|
1а 4 |
— Ь* |
= |
|
i_ J_ |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
i464 |
|
|
|
|
|
191 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— а 4Ь4 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a4 b4 +b2 |
: W4 — b4 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
а 4 — Ь Ч = a 4 — 6 4 |
||||||
|
Вместе |
с |
учением |
о |
показателе |
|
степени |
|||||
|
в процессе преподавания необходимо рассмот |
|||||||||||
|
реть и решение элементарных показательных |
|||||||||||
|
уравнений. Следует обратить внимание на основ |
|||||||||||
|
ной принцип решения показательных уравнений, |
|||||||||||
|
а именно: если степени равны и основания |
|||||||||||
|
равны, то и показатели равны (однозначность |
|||||||||||
|
логарифма при положительном основании, не |
|||||||||||
|
равном 1). |
обобщения |
понятия |
о |
показателях |
|||||||
|
После |
|||||||||||
|
и решения элементарных показательных уравне |
|||||||||||
|
ний нужно |
переходить к рассмотрению показа |
||||||||||
|
тельной |
функции |
вида у = ах, |
где |
х |
может |
||||||
|
быть целым и дробным, положительным и отри |
|||||||||||
|
цательным, |
а также иррациональным при а > О |
||||||||||
|
и а ф 1. |
При этом |
учащимся |
следует |
указать |
|||||||
|
на следующие ограничения: |
1) |
основание пока |
|||||||||
|
зательной |
функции |
у = а* |
не |
равно |
единице |
||||||
|
(а ф 1); |
2) |
основание |
берется |
всегда |
положи |
||||||
|
тельное |
(а > |
0); |
3) |
берутся только |
арифмети |
||||||
|
ческие корни для значения показательной |
|||||||||||
192 |
функции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Очень часто учитель говорит об этих ограни- |
чениях кратко, недостаточно аргументированно, а между тем первые два ограничения могут быть полностью объяснены.
В самом деле, |
если |
мы возьмем основание, |
||||
равное единице |
(а — 1), |
то степень И при вся |
||||
ком значении х будет 1, |
а так как это величина |
|||||
постоянная, |
то находим, что у ■— 1, и поэтому при |
|||||
а = 1 |
функция |
ах |
показательной не считается. |
|||
Если бы не было второго ограничения |
(а > 0), |
|||||
то функция |
могла |
бы при основании, меньшем |
||||
нуля |
(а < |
0), |
и |
показателе степени, |
равном |
дроби, у которой знаменатель будет четное
число, принимать |
мнимые значения. Так, при |
|
j_ |
а = — 2 и j = |
мы имели бы у = (— 2)2 , |
а мнимое значение функции в элементарной алгебре не рассматривается.
Учитывая при рассмотрении показательной функции два первых ограничения, но не при нимая во внимание третьего, мы можем полу чить для функции ряд отрицательных значений. Эти значения не составят одной непрерывной кривой, так как из бесчисленного числа функ ций они принадлежат к совершенно разным.
Рассмотрим, например, функцию у — 2х. Для этой функции построим график (рис. 12).
Таким образом, график функции у — 2х будет иметь, кроме точек, лежащих выше оси Ох, еще точки, расположенные вниз от оси Ох и не принадлежащие одной непрерывной кривой.
Необходимость последнего ограничения учитель должен себе ясно представлять.
Учащиеся должны хорошо изучить следую щие свойства показательной функции: свойство 193
13 Г. К. Остапов
показательной функции при положительном основании, характер изменения этой функции при основании, большем и меньшем единицы, а также при аргументе положительном и отрица тельном. Эти свойства и характер изменения
Рис. 12
показательной функции важны при дальнейшем изучении свойств и характера изменения лога рифмической функции.
Изучение свойств показательной функции и характера ее изменения необходимо сопро вождать построением графиков. Например, гра
фики функций у = 2х, у = 10х, у = надо
строить на одном и том же чертеже. При рас смотрении кривых этих показательных функций учащиеся должны обратить внимание на сле дующее: все кривые пересекают ось Оу в одной и той же точке (у — 1), все кривые располо-
194 жены только по одну сторону оси Ох и поэтому
не имеют точек с отрицательной ординатой, и либо при л', стремящемся к -f- со, либо при л% стремящемся к — оо, кривые безгранично при ближаются к оси Ох. Здесь же будет вполне целе сообразно сделать сопоставление кривых, которые симметричны друг другу относительно оси Оу:
(у = 2- и у = (~ ) Х= 2-*) .
Прежде чем перейти к непосредственному рассмотрению учения о логарифме, отметим те недостатки, которые характерны для всего про цесса изучения логарифмов в школе.
Так, учащиеся неясно представляют себе зависимость между числом и его логарифмом, не знают теории десятичных логарифмов. Пра вила пользования таблицами логарифмов они
обычно знают хорошо, но |
вывод этих правил |
во многих школах вообще |
не рассматривается. |
К примеру, учащиеся не могут объяснить, почему мантисса обладает известными свой ствами, почему для определения характеристики мы берем то, а не другое число единиц, зачем необходимо разделение числового выражения десятичного логарифма на две самостоятельные части и т. д. Кроме того, ученики не умеют правильно произвести логарифмирование слож ного выражения, в частности, если в него входят суммы, не умеют потенцировать.
Причина недостаточного знания учащимися логарифмов заключается в том, что средняя
школа мало уделяет внимания |
теории. Многие |
учителя математики считают, |
что логарифмы |
нужны только для сложных |
вычислений, но |
это совершенно неверно. В самом деле, логарифм 195
13*
имеет большое практическое и теоретическое значение (как функция). Так, показательная и логарифмическая функции широко приме няются в естествознании и технике, где многие явления и процессы совершаются по законам, которые математически выражаются показатель ной и логарифмической функциями. Кроме того, все преподавание алгебры строится на основе функциональной зависимости величин. Так, уча щиеся сначала знакомятся с линейной и квад ратной алгебраической функциями, а затем с по казательной и логарифмической.
Учение о логарифмах можно разбить на три следующие части:
1)определение логарифма и изучение его основных свойств;
2)вывод правил логарифмирования и усвое ние операций логарифмирования и потенциро вания;
3)рассмотрение свойств десятичных лога рифмов, приобретение умения и навыков в поль зовании таблицами логарифмов.
Мы остановимся главным образом на вопро сах, которые связаны с теорией логарифмов.
Начнем с п е р в о й части . Изложение уче ния о логарифмах в школе хорошо было бы начать с рассмотрения таблицы Штифеля:
..., — 3, — 2, — 1, 0, 1, 2, 3,...
что соответствовало бы истории возникновения 196 и способствовало быстрому пониманию учащи-
мися значения логарифмов. Следует обратить внимание учащихся на то, что умножение, деле ние, возведение в степень и извлечение корня для двух любых чисел, которые входят в таб лицу, можно заменить соответственно сложе нием, вычитанием, умножением и делением показателей.
Таким образом, после изучения таблицы Штифеля у учащихся сложится ясное представ ление об основной идее логарифмических вычис лений (сведение действий высшей ступени к дей ствиям низшей ступени).
При выполнении упражнений на вычисления с помощью таблицы Штифеля следует обратить внимание учащихся на то, что проводить вы числения можно только с числами, которые входят в эту таблицу, хотя данную таблицу можно расширить путем вставки средних геомет рических и средних арифметических. Для того чтобы таблица охватывала все числа, необхо димо всякое число рассматривать как степень с одним и тем же основанием (существование действительного решения уравнения ах — Ь).
При изучении таблицы дается обычное опре деление логарифма, а именно: логарифмом дан ного числа по данному основанию называется показатель степени, в которую надо возвести это основание, чтобы получить данное число.
Определение логарифма учащиеся |
обычно |
|||
знают, но |
отчетливого |
представления |
о |
том, |
что такое |
логарифм, у |
них нет, так как |
мно |
гие из них не понимают тождества, вытекаю щего из определения логарифма:
alog«w = N.
14 Г. К. Остапов