ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.04.2024
Просмотров: 136
Скачиваний: 3
Так, на вопрос, чему равно, например, Ю^5, редко кто из учащихся отвечает, а большинство
ответа дать |
не могут. Это объясняется не тем, |
||
что данное |
тождество |
не |
рассматривается |
в учебнике, |
а тем, что |
школьники не имеют |
|
отчетливого |
представления |
о двойственном |
смысле терминов, обозначающих результат дей ствия и его запись. Так, при выяснении действия возведения в степень необходимо указать, что степенью называется не только результат, но и сама запись этого действия \ап\. На двой ственный характер терминов необходимо об ращать внимание в самом начале изучения алгебры, к этому вопросу следует возвращаться
и в дальнейшем. |
|
|
|
|
|
|
Таким образом, если учащиеся отчетливо |
||||
понимают, что логарифмом, например, числа |
4 |
||||
при |
основании |
2 называется |
не |
только |
2, |
но |
и сама запись |
log2 4, то для |
них |
не пред |
ставляет никакого затруднения дать ответ на вопрос, чему равно 210®24.
После словесного определения логарифма необходимо дать и его буквенную символичес кую запись. Так как символ \ogaN обозначает показатель степени, в которую необходимо возвести основание а, чтобы получить число N, то отсюда следует, что
a l°gfliV= N '
Вывод этого тождества можно еще дать
|
несколько в другой форме, а именно: пусть |
|
|
logaN = x, |
(1) |
|
тогда на основании определения логарифма |
|
198 |
ах = N. |
(2) |
Если теперь в равенство (2) вместо х подставить его значение из равенства (1), то получим
a lo* ° N = N .
Следует заметить, что в объяснительной за писке к программе по математике для средней школы указывается, что необходимо обратить внимание учащихся на это тождество.
Вдальнейшем это тождество может быть использовано для вывода формул логарифми рования и свойств логарифма.
Всамом деле, пусть даны тождества:
N — a}0Sa‘v и N ^ a ' 0^ 1.
Если, например, мы их перемножим, то получим
N-Nt = aloe«N+'oe«Ni
или
loga (N NJ = logaN + \ogaNx.
Дадим, далее, исходя из этого тождества, вывод формулы перехода от одной системы логарифмов к другой.
Логарифмируя обе части тождества по осно ванию Ь, получим
log^/V = log„ (aloSaN)
или
log bN = log0AMog6a,
откуда
l0^ |
= l ^ l0^ > |
где множитель -j 1 |
называется модулем пере |
хода от одной системы логарифмов к другой. 199
н*
|
Если а = е = 2,71828... |
и ^ — 10, то фор |
мула примет вид |
|
|
|
^ N = - ^ \ g N , |
|
где |
_ i — == 2,30258... |
|
А |
lge |
|
|
Если же а — 10, b = е, то получим формулу |
|
перехода от натуральной |
системы логарифмов |
|
к десятичной: |
|
|
|
|
lniV> |
где 1 Ш = °-43429- |
|
|
|
Следует заметить, что |
вопрос о модуле пе |
рехода от одной системы |
логарифмов к другой |
в учебнике А. Киселева [301 не рассматривается и в действующую программу средней школы не входит, но учитель может использовать этот материал для кружковой работы.
Затем необходимо'перейти к равенству x = \ogaN,
которое будет равносильно |
равенству |
|
|||
|
|
N = а*. |
|
|
|
В равенство х = loga N входят три величины |
|||||
(х, a, N), и |
поэтому |
мы имеем здесь три типа |
|||
задач. |
Решая |
эти задачи при самых |
различных |
||
числовых данных, учащийся лучше усваивает |
|||||
понятие о логарифмах. Вместе с |
решением |
||||
этих |
задач |
должно |
идти |
изучение |
и усвое |
ние основных свойств логарифма. При изучении этих свойств следует одновременно рассмат ривать соответствующее свойство показательной функции, демонстрировать это свойство на гра-
200 фике, решать соответствующие примеры.
Так, при рассмотрении свойства логарифма: отрицательное число при положительном осно
вании не |
имеет |
логарифма, пишется равенство |
х = log0 ( |
— N), |
а затем оно переписывается |
в виде ах = — N. Здесь мы пользуемся следую щим свойством: в какую бы степень ни возвели положительное основание, всегда будем иметь положительное число. Затем строим графики показательной функции и обращаем внимание учащихся на то, что все кривые расположены по одну сторону от оси Ох и вверху, т. е. зна чение показательной функции всегда будет по ложительное. После этого решается ряд приме ров, показывающих, что отрицательные числа при отрицательном основании могут иметь ло гарифмы. В связи с этим заметим, что когда учитель говорит учащимся: «отрицательные числа при положительном основании не имеют логарифма» и «положительное число при поло жительном основании имеет только один лога рифм», то это не вполне так. Все эти поло жения будут справедливы для действительной области, а в комплексной логарифмы обладают другими свойствами, что должен знать каждый учитель. В комплексной области показательная функция будет периодической, а логарифм многозначным (это легко показать при помощи формулы Эйлера ехг' = cosx-J-i sinx). В этой области всякое число имеет логарифм, а поэтому его имеет и отрицательное число при положи тельном основании.
После рассмотрения всех свойств логариф мов строятся графики логарифмической функции
при различных основаниях
Затем необходимо сопоставить полученный график, например, функции у = log2 х, которую можно записать х = 2-v, с ранее построенным графиком показательной функии у — 2х. В ре зультате сопоставления учащиеся увидят, что
уравнения х = 2V и у — 2х |
отличаются |
друг от |
||||||||
друга тем, что буквы х и |
у |
поменяли свои |
||||||||
места, и придут к выводу, |
что получаются |
|||||||||
одни и те же кривые, |
только |
различно |
распо |
|||||||
ложенные относительно осей координат. |
||||||||||
После |
построения графика |
логарифмической |
||||||||
функции у = |
log2 х |
необходимо обратить |
внима |
|||||||
ние учащихся на тот участок |
кривой, |
где зна |
||||||||
чение |
х |
меньше |
единицы |
и |
приближается |
|||||
к нулю. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
допустим, |
что х |
принимает |
значения |
||||||
1 |
1 |
. . . , |
1 |
|
|
|
|
|
у |
прини |
-4-. -jg-, |
-2п, то соответственно |
|||||||||
мает |
значения — 2, |
— 4, |
. . . , |
— п. |
|
Если п |
||||
будет |
очень |
велико, |
то |
значение |
|
будет |
очень мало. Итак, логарифмы чисел, которые очень близки к нулю, при основании, большем единицы, будут отрицательными числами, но большими по абсолютному значению, т. е. мы говорим, что если число стремится к нулю, то его логарифм стремится к — оо. Все эти рас суждения должны сопровождаться построением графиков логарифмических функций.
При изучении свойств логарифма в школе, как правило, не рассматривается вопрос о не соизмеримости единицы и логарифма числа, что является большим упущением, так как при этом можно было бы ознакомить учащихся с элемен-
202 тарным методом приближенного вычисления
логарифма (с видоизмененным методом Непера или Бригса). На практике этими элементарными методами не пользуются; вычисляются лога рифмы при помощи логарифмического ряда, который позволяет быстро и с большой точ ностью получить необходимый результат. Кроме того, для вычисления промежуточных значений логарифма еще применяют интерполяционную формулу. Однако учащимся эти методы не доступны.
Мы считаем, что ознакомление школьников с одним из элементарных методов вычисления логарифмов является необходимым. Так, вряд ли многие учащиеся отчетливо представляют себе природу, скажем, числа 47712, стоящего в таб лице логарифмов против числа 3. Если им задать вопрос, какая мантисса у 1, то получим ответ: «пять нулей», а пользующиеся четырех
значной таблицей скажут «четыре |
нуля», |
из |
|
чего нельзя не |
сделать вывод, что |
учащиеся |
|
не имеют ясного представления о |
том, |
что |
|
такое мантисса. |
После ознакомления |
школьни |
ков с одним из элементарных методов вычисле ния логарифмов логарифмические таблицы, не понятные вначале, составленные недоступными методами высшей математики, становятся ясными для них.
Рассматривая один из методов приближен ного нахождения логарифмов, необходимо обра тить внимание учеников на то, что, вычисляя приближенно логарифм, мы показываем, что всякое положительное число имеет логарифм, т. е. дается пояснение основной теоремы тео рии логарифмов (приближенное решение урав нения ах = Ь).
Теперь перейдем к рассмотрению |
в т о р о й |
ч а с т и учения о логарифмах. Здесь |
ставится |
следующая цель: учащиеся должны приобрести навыки в логарифмировании и хорошо усвоить свойства логарифмов. Вначале доказываются четыре основные теоремы о логарифмах произ ведения, частного, степени и корня, на которых построен весь процесс логарифмирования.
Доказательство этих теорем очень простое, а поэтому не вызывает особых трудностей в методическом отношении. Тем не менее и здесь есть моменты, требующие внимания. Каза лось бы, учащиеся должны хорошо логарифми ровать, но между тем дело обстоит не так благополучно. Например, они не приучаются
логарифмировать всякое |
выражение |
до |
конца |
||
и не совсем усваивают |
положение, |
что |
сумму |
||
и |
разность нельзя логарифмировать.* |
тем, |
что |
||
в |
Эти |
недостатки объясняются |
|||
школе |
мало решается |
примеров на логариф |
мирование, а в задачниках Н. А. Шапошникова и Н. К. Вальцова [36], П. А. Ларичева [37] дано очень мало упражнений на логарифмиро вание (например, выражений с суммами и раз ностями). Кроме того, упражнения, содержа
щиеся |
в задачниках, очень простые. |
ввести |
||||
Было |
бы |
желательно, |
например, |
|||
также |
задачи: прологарифмировать выражения: |
|||||
N = ______ * 4 ~ Д - ---------- |
А/ = |
1 ... .........и |
т п |
|||
|
У3 + |
3(/2 + |
Зу + 1 |
’ |
у 27т*у — т у |
|
Чтобы прологарифмировать эти выражения, надо разложить соответствующие суммы и раз-
* Существуют специальные таблицы Гаусса, позволяю204 щие найти lg (х ± у) по известным lg х и lg у.