Файл: Остапов Г.К. Логарифмы.pdf

log х = 2 log а + 3 log b — 5 log с.

Эта задача является простейшей задачей на решение логарифмического уравнения. Решая ее, учащийся, несомненно, получит ответ

^_ а263

с5

В результате такого рода записи задач на потенцирование ученик привыкает к тому, что логарифм пропадает. Для того чтобы такого рода ошибки не допускались, учащиеся должны твердо знать формулы логарифмирования в об­ ратном порядке, а именно:

logam + log„n = loga (тп),

logam — log„« = loga и т. д.

Кроме того, примеры на потенцирование це­ лесообразнее давать в такой форме: потенциро­ вать выражение

2 log а 3 log b — 5 log с.

Для того чтобы ученик лучше усвоил, что логарифмирование и потенцирование действия обратные, необходимо вначале каждый пример 206 проверять логарифмированием полученного отве-

та. Так, например, надо потенцировать выраже­ ние

4 " (3 lg т + 5 lg п — 7 lg р).

Р е ше н и е :

4-(31gm + 51gn-71gp) = l g |/

П р о в е р к а :

Обычно без труда школьники потенцируют выражение

-i-lg a — 21g6 = lgx + lg у,

но стоит переписать его в виде

4 " lg a — 2 lg 6

и многие ученики при потенцировании допускают ошибки.

Приступим к краткому рассмотрению по­ следней, т р е т ь е й , ч а с т и учения о логариф­ мах. Эта часть значительна по своему объему

ией уделяют в школе наибольшее внимание.

Вэтой части рассматриваются свойства де­

сятичных логарифмов, дополнение логарифма, вычисление посредством логарифмических таб­ лиц.

Все свойства десятичных логарифмов осно­ ваны на двух теоремах: о числе единиц харак­ теристики и о неизменяемости мантиссы при умножении или делении числа на число, кото­ рое выражено единицей с нулями. Доказательст207

ливо представлять себе, например, необходи­ мость расщепления логарифма десятичной дроби на характеристику и мантиссу, насколько важно прибегать к искусственной форме для чисел, ко­ торые меньше единицы.

Очень часто учитель при изучении темы «Ло­ гарифмы» ставит своей целью научить учащихся только обращаться с логарифмическими табли­ цами. Так, учащиеся узнают, как определить характеристику числа, какими свойствами обла­ дает мантисса, но не могут объяснить, почему нужно поступать именно так, а не иначе.

При рассмотрении десятичных логарифмов нужно объяснить, почему при вычислениях поль­ зуются десятичными логарифмами, а не нату­ ральными.

При вычислении сложного выражения с по­ мощью логарифмов приходится складывать и вычитать несколько логарифмов, а для того чтобы не прибегать к вычитанию, применяется способ дополнения, заключающийся в замене вычитаемых логарифмов слагаемыми. В учебной литературе этому вопросу уделяется мало вни­ мания. Так, в учебнике Киселева [30] опреде­ ление дополнения логарифма и правило его на­ хождения не даются, а указывается только, что есть возможность заменить вычитание сложе-

208 нием.

Как же объяснить понятие о дополнениях логарифмов? Разъяснение этого материала необ­ ходимо проводить в следующем порядке: 1) вы­ яснить возможность замены вычитания сложе­ нием, 2) дать определение дополнения логариф­ ма, 3) найти кологарифм, 4) проводить вычисле­ ния, применяя кологарифмы.

Остановимся подробнее на каждом из этих вопросов.

Чтобы выяснить, необходимо ли заменить вычитание сложением, следует рассмотреть с учениками пример типа

Для нахождения логарифма х приходится про­ изводить три действия: сложение; сложение; вычитание. Здесь учитель должен задать уча­ щимся вопрос: нельзя ли упростить вычисления, сведя два различных действия к одному? Ока­ зывается, что это упрощение можно провести, заменив вычитание сложением.

Для того чтобы дать определение дополнения

логарифма, берем выражение х — и пред­

ставляем его в виде х = а--у. Логарифмируя

его, получаем

lg х = lg а + (0 — lg b).

Таким образом, вычитание можно заменить сложением, т. е. к lg а прибавить разность

(О — lg6).

Теперь можно дать определение дополнения логарифма следующим образом: разность между нулем и логарифмом данного числа называется 209

дополнением логарифма данного числа до 0 или кологарифмом.

Сокращенно дополнение lg b записывается так: доп. lg b, или со lg b, где со —• первые буквы латинского слова complementum (дополнение).

Таким образом, предыдущее выражение мож­ но представить в виде

IgA' = lga + со lgb.

Если b = а, то х = 1, и выражение примет вид

lga + со lga = 0.

Для нахождения кологарифма нужно логарифм данного числа вычесть из 0. Записываем так:

если lg b = 3,4257, то со lg b = 0 — 3,4257 = = 2,5743. При вычитании необходимо из харак­ теристики уменьшаемого «занять» единицу, т. е.

упражнений для быстрого отыскивания характе­ ристики. Например: (— 1) — (+ 5); (— 1) —

-(+ 4); ( - 1) - ( - 6); ( - 1) - ( - 9).

Вычисления с применением кологарифмов не

вызывают затруднений у учащихся. Однако

Допустим, что х ==~^г или х = а--^-. Ло­ гарифмируя, получим

l g x = \ga + (0 — nig 6),

откуда

О— n\gb = flon.nigb.

Сдругой стороны,

О— п lg b = п (О — lg b) = п доп. lg b.

Итак,

доп. п lg b — п доп. lg b.

а затем уже дать вывод формулы в общем виде. При прохождении логарифмов много времени