ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.04.2024
Просмотров: 133
Скачиваний: 3
F = 4,869674
G = 5,232991
Я = 5,048065 / = 4,958069
К = 5,002865
L = 4,980416
Л 4= 4,991627
N = 4,997242
О = 5,000052
P = 4,998647
Q = 4,999350
Я = 4,999701 S = 4,999876
T = 4,999963
V = 5,000008
F = 4,999984 X = 4,999997
Y = 5,000003
Z = 5,000000
lg F = |
0,6875000 |
G = V D F |
||
lg 0 |
= |
0,7187500 |
H = V F G |
|
lg H = |
0,7031250 |
/ = |
/ 7 7 / |
|
lg / |
= |
0,6953125 |
X = |
/ Я / |
lg K '= 0,6992187 |
L = |
/ / X |
||
lg L = |
0,6972656 M = |
y K L |
||
lgM = |
0,6982421 |
X = |
/ X ¥ |
|
lg X = |
0,6987304 |
О = |
/ X X |
|
lg 0 |
= |
0,6989745 |
P = |
/ М ) |
lg P |
= |
0,6988525 |
Q = \ ' q P |
|
lg Q = 0,6 9 8 9 1 3 5 |
R = |
J/OQ |
||
lg R |
= |
0,6989440 |
S = |
[r 0 R |
lg S |
= |
0,6989592 |
T = |
V OS |
lg Г = |
0,6989668 |
V = |
/ О Г |
|
lg V = |
0,6989707 |
IF = |
/ 7 Г |
|
lgU 7= 0,6989687 |
X = |
Y V W |
||
lg X = |
0,6989697 |
К = |
Y V X |
|
lg Y |
= |
0,6989702 |
Z = |
Y X Y |
lg Z = |
0,6989700 |
|
|
|
Итак, беря средние пропорциональные, мы, наконец, пришли к Z = 5,000000, откуда иско мый логарифм числа 5 будет 0,6989700 при основании логарифмов, равном 10. Поэтому приближенно найдем
1Q0,6989700 5
Заметим еще, что Бригс в «Логарифмической арифметике» дал прием быстрого получения логарифмов всех чисел, пользуясь только огра ниченным числом независимо вычисленных ранее
логарифмов. |
дано |
число |
N. |
Представим его |
Допустим, |
||||
в виде десятичной дроби |
|
|
||
N = a0 |
Щ |
а1 |
аЯ |
(«о Ф 0 ), |
10 |
10* |
103 |
||
которая делением |
на а0 |
и |
записью частного |
в виде десятичной дроби приводится к виду |
|||
N = а° ( 1 + |
- ж + |
i k |
+ • • •)• |
Разделив второй множитель правой части на
(l + получим
|
10 |
-l J l - |
+ . . . ) = |
|||
|
^ |
102 |
||||
= 1 |
10 |
1 |
_L |
^2 |
I |
Рз |
1 |
+ |
102 |
+ |
103 |
||
Второй множитель правой части не может содержать десятых долей. В самом деле,
(‘ + ^ г |
а1+ 1 |
I |
а1 |
10 |
1 |
102 |
будет больше левой части предыдущего равен ства.
Аналогично предыдущему получаем далее
|
|
|
-]— l5_ _ |
|
||
|
11+ 102 ^ |
103 |
|
|||
1 |
|
и |
1 J_ |
'1з |
"U |
|
А- — |
||||||
1 |
^ |
Ю2 |
1 |
1 |
103 |
10* |
|
1 -1__ !±- |
|
|
1-1 |
|
|
|
1 |
^ 103 |
|
104 |
|
|
= 1 |
|
Тз |
1 4_ |
__ I__ — |
||
|
103 |
1 |
h |
104 ^ |
Ю3 |
|
42
Таким образом, из всех равенств путем под становки найдем
= «о (1 + -jfj-) (l + То»") + Тде")
а
lg/V = lga0+ lg(l + - ^ - ) + lg(l + ! ^ ) +
+ 1§ ( 1 + !&“) + ••■*
где а0 может иметь значение 1, 2, 3, . . . , 9;
(l |
+ |
|
— значение |
1,1; |
1,2; |
...; |
1,9; |
(l |
+ |
^ г ) |
— значение |
1, 01; |
1, 02; |
... ; |
1,09. |
|
Логарифмы всех этих чисел Бригс вычислил |
||||||
с наперед заданной точностью с 15 десятичными знаками.
Таким образом, можно получить простым сложением логарифм числа N, предварительно находя путем деления значения а0, аь р2, . . .
и пользуясь указанными таблицами.
Подобный метод применяют еще и теперь, если необходимо получить логарифмы отдель ных чисел с большим числом десятичных зна ков, чем они обыкновенно даются в таблицах. Поэтому во многих работах есть такие вспомо гательные таблицы, как и таблицы Бригса, напечатанные с большим числом десятичных знаков.
43
§5. Второй этап истории развития логарифмов и показательной функции
Дальнейшее |
развитие |
теории |
логарифмов |
||||
связано с более широким применением аналити |
|||||||
ческой геометрии |
и исчисления бесконечно ма |
||||||
лых. К этому периоду |
относится установление |
||||||
связи между квадратурой равносторонней гипер |
|||||||
болы и натуральным логарифмом. |
|
|
|||||
При более детальном рассмотрении числовых |
|||||||
последовательностей Непера и Бюрги можно |
|||||||
перейти к графическому |
изображению |
этих по |
|||||
следовательностей в виде лестницы, |
вписанной |
||||||
в показательную |
кривую, |
а |
их логарифмов — |
||||
в виде суммы площадей прямоугольников, огра |
|||||||
ниченных |
равносторонней гиперболой. |
связана |
|||||
Теория |
логарифмов |
этого |
периода |
||||
с именами целого ряда математиков. |
|
|
|||||
Сент-Винцент (1584—1667) |
|
|
|
||||
Григорий Сент-Винцент родился |
в |
1584 г. |
|||||
в Брюгге (Бельгия), учился |
в |
Риме |
у |
Клавия, |
|||
а затем |
стал профессором в Праге. Вскоре |
|||
после этого он переехал в Вену, а затем вер |
||||
нулся |
на |
родину, где прожил до самой смерти |
||
в 1667 |
г. Здесь Сент-Винцент |
издал сочинение |
||
«Геометрический труд» (1647), в основу кото |
||||
рого частью легли некоторые из его пражских |
||||
рукописей. Главная |
тема работы — квадратура |
|||
44 круга |
и |
конические |
сечения. |
«Геометрический |
труд» содержит многочисленные методы и идеи, говорящие о большой изобретательности автора.
Изучая квадратуры, Сент-Винцент в 1647 г. нашел замечательное свойство равносторонней гиперболы, позволившее связать площадь, за ключенную между кривой и ее асимптотами, с натуральными логарифмами. На основании этого свойства натуральные логарифмы стали называться гиперболическими.
Таким образом, площадь гиперболы дает геометрическое выражение логарифма (в совре менных обозначениях)
* |
|
\‘- ^ = 1п*. |
|
.1 |
X |
1 |
|
Меркатор (1620—1687)
Николаус Меркатор, немецкий математик, астроном и инженер, в сочинении «Логарифмотехника» (1668) приводит ряд, дающий разло
жение 1п (1 |
+ |
х) |
по степеням х. |
|
|
|
Меркатору принадлежит смелая идея: для |
||||||
разложения |
|
в ряд |
l n ( l - f x ) надо |
|
выполнить |
|
деление в дроби |
{ |
- и проинтегрировать по |
||||
лучившийся |
ряд |
X |
|
|
||
|
X |
|
|
|
||
1п (1 + * ) = |
|
|
|
(1 — х + х*— *3 |
+ |
. . .)dx = |
|
о |
' |
о |
|
|
|
Это выражение в точности соответствует 45
ходу его мыслей, хотя он, конечно, пользо вался не знаками f, d и т. д., а более гро моздкой символикой.
С открытием логарифмического ряда изме нилась техника вычислений логарифмов: лога рифмы стали определяться с помощью бесконеч ных рядов. Логарифмический ряд может быть применен вначале к вычислению натуральных логарифмов, а затем с помощью модуля пере хода можно перейти к логарифмам других систем.
Ньютон (1643—1727)
Идеями Меркатора воспользовался великий английский математик Исаак Ньютон, обогатив их двумя крупными открытиями. Ньютон по строил ряд для выражения бинома с любым показателем *.
С помощью очень искусного обращения ряда для функции у = In х он получает ряд для е-1'.
Таким образом, Ньютон не только восполь зовался идеями Меркатора, но сделал два новых открытия: ввел обобщенную теорему бинома (об этой теореме он говорит в письмах к Лейб ницу) и метод обращения рядов. Ньютон впер вые выводит из ряда Меркатора для у = In х посредством его обращения ряд для показатель ной функции
* Разложению (а 4- Ь)п для случая п целого и поло
жительного дано название «бином Ньютона» совершенно
неосновательно. Это |
разложение |
уж е давно было известно |
Штифелю, Ферма и |
Паскалю. |
Впервые оно встречается |
у Джемшида ал-Каши. но было известно ранее еще в 11 в. 46 Омару Хайяму.
Далее, полагая у = 1, он получает разложение для е*\
е = 1 “Г —[Г + ~2Г + • ' '
Как видим, е здесь определяется не как посредством ряда.
Тейлор (1685—1731)
Брук Тейлор, английский математик, в своем сочинении «Метод приращений» в 1715 г. дал общий принцип для разложения функций в сте пенные ряды. Для того чтобы иметь возмож ность сразу написать ряд для показательной функции как частный случай его общего ряда, ему пришлось из соотношения, которое содер жало определение логарифма с помощью интег
рала |
d |
|
вывести для обратной функ |
ции |
равенство, в |
наше время записываемое |
|
в виде |
— еУ■ |
|
|
В этом же труде Тейлор положил начало математическому изучению задачи о колебании струны. Ему принадлежат заслуги в разработ ке теории конечных разностей. Тейлор также автор работ о перспективе, центре качения, по лете снарядов,взаимодействии магнитов, капил лярности и др.*
* |
У Ньютона нет еще специального |
обозначения |
числа |
е. |
47 |
