ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.04.2024
Просмотров: 140
Скачиваний: 3
Из этого разложения он получает
|
е— |
1 |
е2— |
1 |
и |
е + |
Г’ |
е2+ |
Г |
1 |
|
|
|
|
еЛ' — 1 |
|
|
|
|
е* + 1 = |
2 |
1 |
|
|
|
л: + _ 6 _ |
, J ________ |
||
|
|
л: |
10 |
1 |
|
|
|
Д Г + 14 |
|
х ~г
Для доказательства второй теоремы Ламберт разлагает tgx в непрерывную дробь
tg^= -T- 1- T
х |
3 |
1 |
Г |
|
|
~ Т ~ ~ 5 |
|
||
|
|
х ~ |
7 |
1 |
|
|
|
* ~ |
9 |
|
|
|
|
х ■" |
При помощи этих разложений Ламберт до казывает, что при рациональном х ни ех, ни tg х не могут быть рациональными. В частности,
при х = |
tg |
= 1, откуда следует, что и— |
иррациональное.
Однако Ламберт не дал строгого доказа тельства иррациональности е и -к, так как не до казал следующую лемму: если в простирающей ся в бесконечность непрерывной дроби
m
m'
56 |
п |
т, п, т' , п' и т. д. |
суть целые положительные |
||
или отрицательные числа, причем дроби |
~- |
||
и т. д. |
меньше единицы (по абсолютному зна |
||
чению), |
то значение |
этой дроби есть иррацио |
|
нальное |
число. |
|
данное |
Приведем доказательство этой леммы, |
|||
французским математиком Лежандром |
(1752— |
||
1833) [5, стр. 203—206]: «Во-первых, я утверж даю, что это значение меньше единицы. Дейст
вительно, не нарушая общности, можно |
допу |
|
стить, что все знаменатели п, |
п', п" |
и т. д. |
суть положительные числа. Если |
возьмем теперь |
|
только первое звено данной дроби, |
то, по пред |
|||||
положению, |
< |
1. |
Беря |
еще одно звено |
и за- |
|
|
т’ . |
, |
заключаем, |
. |
т' |
|
мечая, что——< |
1, |
что п-\-----— |
||||
больше, чем п — 1; |
и так |
как т |
меньше |
п и |
||
оба они •— целые числа, то т также меньше, чем
Таким образом, дробь
т
тГ’
л
составленная из первых двух звеньев, будет меньше, чем единица.
Возьмем |
затем третье звено и заметим пред |
|
варительно, |
что на основании только что до- |
|
|
^ |
т ' |
казанного значения дроби---------w-, составлен-
п' + lf~
ной из второго и третьего звена, меньше еди ницы. Обозначая это последнее значение через ш, 57
видим, что гс~у— также меньше единицы. Сле-
довательно, |
|
дробь, |
составленная из |
трех |
||
звеньев: |
|
т |
|
|
|
|
|
|
т' |
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
также меньше |
единицы. |
таким же |
образом, |
|||
Продолжая |
рассуждать |
|||||
видим, что |
сколько |
бы мы |
ни брали |
звеньев |
||
данной дроби, |
полученное значение всегда мень |
|||||
ше единицы; |
отсюда следует, что и вся |
дробь, |
||||
продолженная до бесконечности, меньше еди ницы. Она может быть равна единице лишь в том единственном случае, когда имеет вид
т
т+ 1 |
т' |
т" |
|
т' |
|
||
|
т" + 1 |
— ... |
|
|
|
Заметив это, допустим, что значение нашей непрерывной дроби не иррационально, а равно
некоторому рациональному числу -д—, где Л и В
суть целые числа. В таком случае
вт
Далее, пусть числа С, D, Е и т. д. опреде ляются последовательно из равенств:
£т'
Вп ' + т"
58 |
п" + п"’ +... |
_D m
Сm
,,iv
n'" + ,iv
и так до бесконечности. Так как все члены этих различных непрерывных дробей меньше единицы, то на основании выше доказанного
значения этих дробен -д , -g-, |
и т. д. |
||
также меньше |
единицы, т. е. |
В < А, С < В, |
|
D < С и т. д. |
Отсюда |
следует, |
что числа ряда |
А, В, С, D, Е и т. д. |
последовательно убывают. |
||
Но зависимости между непрерывными дробями,
окоторых идет речь, дают
Вт
___ =
п-г В
откуда
С= тА — пВ,
ст'
~В~~ |
D ’ |
|
п' + с |
откуда
D = т'В — п'С,
D т”
откуда
Е = т"С — n"D
и т. д.
Так как мы допустили, что первые два чис ла А и В — целые, то отсюда следует, что все
остальные числа С, D, Е и т. д. тоже суть 59
целые числа. Таким образом, мы приходим к противоречию, что бесконечный ряд постоянно убывающих чисел А, В, С, D, Е и т. д. дол жен состоять только из целых чисел; при этом ни одно из чисел А, В, С, D, Е и т. д. не может быть нулем, потому что наша дробь продолжается до бесконечности, и выражения
B C D
-д , -g-, и т. д. должны все время иметь
определенное значение. Поэтому наше допуще ние, что значение данной непрерывной дроби
В
равно рациональному числу -д , ложно; это зна
чение непременно иррационально».
Затем Лежандр доказал, что непрерывная
дробь будет иррациональной, когда дроби
т'
-^т- и т. д. меньше единицы.
Исходя из характера разложений е и е2 в непрерывные дроби, можно сделать вывод, что они не могут быть корнями алгебраических уравнений с рациональными коэффициентами. Этот же результат был найден в 1840 г. фран цузским математиком Лиувиллем (1809—1882). Он доказал, что е и е2 не могут быть корнями уравнения
ах24- Ьх + с = 0,
где а, Ь, с — целые числа.
Доказательство иррациональности числа е, которое обычно дается в исследованиях по ма тематическому анализу, принадлежит француз скому математику Фурье (1768— 1830). Приве-
60 дем это доказательство.
