ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.04.2024
Просмотров: 142
Скачиваний: 3
Следовательно,
Pm __g j l P m __ £ |
Pm |
'?«-1 |
< M |
||
Чт |
* \ 4m |
4m |
|||
|
|
||||
при достаточно большом m. |
целое |
число, |
|||
Числитель равенства |
(3) будет |
||||
не равное нулю, так как уравнение |
(Г) не имеет |
||||
рационального корня. |
большом |
значении т |
|||
Итак, |
при достаточно |
||||
Qm4m+1 > ЯтМ’
отсюда
qm+1 < M qn„Tl или qmQm+1 < MqnnTl
и |
|
|
|
<m+1< М . |
(5) |
Если теперь напишем такую непрерывную |
||
дробь, у которой |
неравенство (5) не удовлетво |
|
ряется, то такая |
дробь будет |
выражать транс |
цендентное число.
Числа, не удовлетворяющие этому неравенст ву, Малье предложил называть трансцендент ными числами Лиувилля. Таким числом будет, например, десятичная дробь
т1 |
т2 |
т3 |
+ • • • + |
|
Тот + |
101'2 |
101'23 |
|
|
пц |
+ ... ( m l = |
1, 2, |
9), |
|
+ 101-2-3-- -i |
||||
в которой число нулей между значащими циф рами все более и более увеличивается вправо. Отметим, что более простое доказательство тео ремы дал советский математик А. Я. Хинчин [7]. 67
5*
Признак трансцендентности Лиувилля яв ляется лишь достаточным условием. Существуют трансцендентные числа, которые не обладают этим признаком. Для исследования их транс цендентности требуются, очевидно, новые ме тоды.
§3. Доказательство существования трансцендентных чисел при помощи анализа
Доказать существование трансцендентных чисел можно методом, при котором из изучения свойств специальных чисел, аналитически опре деленных, выводится, что эти числа не могут удовлетворять никакому алгебраическому урав нению.
Впервые этот метод применил Лиувилль, доказав, что число е иррационально и не мо жет удовлетворять квадратному уравнению с рациональными коэффициентами. Доказательство Лиувилля заключается в следующем.
Допустим, что число е удовлетворяет урав нению
ае2 + be -|- с = 0, |
(6) |
где а > О, b и с — целые числа. Разделив члены уравнения на е, получим
ае + b + се~1= 0.
Но
68 |
е-1 _. |
• *1 |
2! |
тогда
(п — 1)!е = (п — 1)! -f- 2-3. . . (п — 1) -f v 3 - 4 . . . ( л - 1 ) + . .. Ч-
I |
|
1_4___ !___ i_ _ |
_ J ______J |
____________ '_____________, |
= |
||||||
1 |
’ |
1 n 1 n (n -}- 1) 1 n (n -}- 1) (n -j- 2) ' ' ' ' |
|||||||||
|
= [(n - !)!-{-2-3... ( n - l ) - f . . . + |
|
|||||||||
|
1) |
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
n |
+ 1 |
(Л+ l)(n + 2) |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
(n— D ie-1= |
[(n— 1)! — 2-3 . . . (« — 1) H- |
|||||||||
|
|
+ 3 - 4 . . . (n— 1) |
|
|
|
|
|
||||
|
( - |
1)" 1 — |
|
1 1 |
(n -I- 1) (n + |
2) |
|
|
|||
|
|
n |
|
|
|
||||||
|
Обозначим сумму целых |
чисел, |
заключенных |
||||||||
в первую квадратную скобку, |
через |
и Q.z, а |
|||||||||
выражение во |
второй квадратной |
скобке |
через |
||||||||
/?, |
и R2. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( " - ' ) ! « = «. + 4 - , |
1 |
|
|
||||||
Мы видим, что Я, < 1, a |
< 1 + |
|
|
|
1)3 |
||||||
|
|
п -j-1 |
Отсюда |
следует, |
что при |
п > |
|||||
> |
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 /?! < 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(6) |
Если теперь умножим |
обе |
части уравнения |
||||||||
на |
(п — 1)! и заменим (п — \)\е |
и (п — 1)!е-1 |
|||||||||
их значениями |
из уравнений |
(7), то получим |
|||||||||
|
aRi + (- |
|
+ (aQx + |
cQz + |
b) — |
0 . |
(8) 69 |
||||
|
|
n |
|
||||||||
Второе слагаемое, заключенное в скобках, будет целым числом, а первое слагаемое пред ставляет дробь, числитель которой при соот ветствующем выборе п есть положительное чис
ло, не равное нулю. |
В самом деле, aR1 > О, |
||
а ( — \)ncR2> 0, если |
с > 0 |
и п — четное |
или |
если с < 0 и п — нечетное. |
Таким образом, |
чис |
|
литель будет число, отличное от нуля. Если мы
будем п неограниченно увеличивать, то |
числи |
||||
тель |
нашей дроби будет |
меньше |
2а + |
(— 1 )''с |
|
(делаем |
это заключение |
исходя |
из того, что |
||
Ri < |
2 |
и R2 < 1). |
|
|
|
Итак, |
дробь |
|
|
|
|
aRi + (— 1fcR2
п
оставаясь отличной от нуля, будет меньше лю бой наперед заданной величины. Отсюда следует, что равенство (8) будет невозможным при п достаточно большом, т. е. сумма целого числа
иправильной дроби не может равняться нулю. Сущность доказательства Лиувилля заклю
чается, таким образом, в следующем: допускаем возможность существования того равенства, не возможность которого мы хотим доказать. Затем выражаем его. каждый иррациональный член через приближенное рациональное значение
(* = |
1. 2>• • ■■ п), |
(9) |
где УИ; — целое число; |
— очень малая |
дробь. |
Умножая обе части равенства (9) на М и заменяя в левой М&1 на + гр мы разбиваем ее на две части, из которых одна будет целым
70 числом, а другая правильной дробью. Таким об-
разом, мы приходим к противоречию: сумма це лого числа, не равного 0, и правильной дроби, не равной 1, не может равняться нулю.
Разложить иррациональное число можно двумя способами, данными Лиувиллем, а имен но:
1) при помощи непрерывной дроби, так как равенство
Рт ___ f; = |
^_______ |
Ят |
ЯтЯт + I |
можно представить в виде
I- __ Рт _ |_ Ят
Ят 1 Ят
где
2) используя свойства тех рядов, с помощью которых эти числа выражаются.
Этим методом воспользовался Эрмит и до казал трансцендентность числа е. Он пишет о том, что необходимо доказать, что равенство вида
Nen+ Nxen- 1+ Nzen~2+ .. . + Nn = О,
где коэффициенты N, Nu N2.........Nn и n — це лые числа, невозможно.
Но Эрмит ставит более общую задачу, а
именно: доказать, что равенство |
|
N + jVxea + N,eb + . .. + Nneh = 0, |
(10) |
где ЫфО и коэффициенты N, Nx NZt. .., Nn— целые числа, а показатели а, Ь, . .., h — раз личные целые числа, не равные 0, ведет к про тиворечию.
Для того |
чтобы |
доказать |
это |
|
положение, |
||||||||
еа, еь, ... , |
eh Эрмит выражает |
так: |
|
|
|
|
|||||||
|
ра _ |
М“+ |
|
рЬ_ |
мь+ гь |
’ |
' ’ •’ |
|
|
||||
|
е — |
|
м |
> е |
|
м |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
(Л - |
Мн + ч |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
Затем, умножая равенство (10) |
на М и за |
||||||||||||
меняя Меа, Меь, . . ., Мен соответственно через |
|||||||||||||
м а ч- га, Мь+ |
гь, ..., |
Mh-!- 3Л, |
с |
помощью ме |
|||||||||
тода Лиувилля он доказывает, что при соот |
|||||||||||||
ветствующем |
выборе М левая |
часть не |
|
может |
|||||||||
стать |
равной |
нулю. |
|
|
|
|
|
|
|
стано |
|||
Таким образом, основной трудностью |
|
||||||||||||
вится |
вопрос |
о |
нахождении |
числа М и соот |
|||||||||
ветствующих |
чисел |
Ма, |
Мь, . . ., |
Mh |
и г0, |
||||||||
гь, .. ., гй. Эрмит |
выражает |
эти числа |
при по |
||||||||||
мощи определенных интегралов. |
интегралов и |
||||||||||||
Исходя |
из этих определенных |
||||||||||||
применяя тот же |
метод, |
которым |
|
пользовался |
|||||||||
Эрмит, немецкий математик |
Линдеман |
(1852 — |
|||||||||||
1939) |
в 1882 |
г. решил задачу о |
квадратуре |
||||||||||
круга, которую не удавалось разрешить никому |
|||||||||||||
в течение тысячелетий, т. е. он дал строгое до |
|||||||||||||
казательство трансцендентности числа тг. |
|
||||||||||||
Этот результат Линдеман |
получил, |
доказав |
|||||||||||
теорему: если а есть корень |
какого-нибудь не |
||||||||||||
приводимого алгебраического уравнения |
с целы |
||||||||||||
ми действительными или комплексными коэффи |
|||||||||||||
циентами, то е* не может |
быть рациональным |
||||||||||||
числом. |
|
|
Эйлера етЛ= |
— 1, |
|
т. е. |
равно |
||||||
По формуле |
|
||||||||||||
рациональному |
числу, а потому ти трансцендент- |
||||||||||||
но, и так как |
|
i — алгебраическое |
число, |
то - |
|||||||||
72 трансцендентно. |
Отсюда |
следует, |
|
что |
|
нельзя |
|||||||
