Файл: Остапов Г.К. Логарифмы.pdf

Скачать файл (5,02Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 04.04.2024

Просмотров: 138

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Иррациональность числа е следует непо средственно из ряда

		е —			1	2!
		е —			ТТ
					ТТ
В самом деле, пусть е =								где	р	и	q —
целые взаимно				простые числа.				Тогда		получим
равенство
_Р = 1 \| 1 ^ 1 , l _L .									!__ I
9	Г	II	^	2!	^ "•	1	q\	Г (q -\|-		1)!	"Г---
Умножая обе части этого равенства на q\, най
дем			С1 + ~ТГ +
P(Q — !)! =			С1 + ~ТГ +			- g r +		••• +			+
	J----- 1___ I-----------!-----------L
	^	9 +	1	^	(<?+ 1)(<? +		2)	П - -
С левой стороны получили не равное нулю це
лое положительное					число, а		с	правой— целое
число	(l	+		+	+ . . . +			-Jp)	Ф и		ряд

— \-с + -,—г-ггт—Г75Т - + - - Сумма членов этого
ряда будет, очевидно, меньше суммы членов
ряда	, j +		др - +		которая	равняется
Но разность			двух целых чисел			не может
равняться числу,			не равному нулю и меньшему
1	поэтому		,	р
— , а		еф
Видоизменяя это доказательство и применяя
его к	ряду	X	.	X
ех = 1 +
		Ti г 2!			+ - + _й г + - *		61

можно легко показать, что ех, где х — целое рациональное число, есть иррациональное.

Приведем доказательство этого предложения, принадлежащее французскому математику Шар лю Эрмиту (1822—1901) [6].

Пусть, во-первых,

			V		у2		ХП 1
/7М = Н - П Г + - \| Г + - + 1 ^ГП)Г-
Таким образом,
ex - F ( X) _		1	Г , ,	*	.	* 2		I
^	“	n!	L		(« +	1)(п + 2)		‘
Взяв	производную п — 1-го порядка от обеих
частей найденного				равенства, получим соотно
шение
ехк (х) — Ф (х)			1	V l ( » H - l) ( w + 2 ) . .. ( т + п —				1)
у2п— [			п\		( п ~ 2 ) ... (2 n - fm —			1) ’
			(т=о, 1, 2....)
в котором и (х) — полином с целыми							коэффици
ентами	степени п — 1, а именно
		U (х) = Л'"-1 — п (п — 1) хп~2+
	,	(п + \ ) п ( п —			1)(п — 2)	,.г _ 3	,
п				2!	Л		1
Положив			<!’ (х) =		т:(— X).
Положив
„ _		V	{ т + l) ( m - \| - 2 ) . . . ( т + п — 1)
^		^	(п +	1) (п +	2 )... (2п +	т —	1)	’

найдем

о 2и—1 ехк (х) — Ф (*) = -..■

Отсюда выводим, что при целом х показа тельная функция ех не может быть рациональ-

62 ным числом.

Эрмит

Положим	ех А .	При целых А к В это
соотношение	принимает	вид

В- (.х) — АФ (х)

Л5.у2л~"1

п\

Данное соотношение противоречиво: левая часть его есть целое число, тогда как правая 63

является	бесконечно	малой	величиной при воз
растании	п.	здесь	фигурирует, имеет
Ряд	S, который	здесь	фигурирует, имеет

действительно положительные члены. Следова

тельно,	он всегда отличен от	нуля,	а его зна
чение	уменьшается, когда	п увеличивается.
		х 2п-	1

С другой стороны, множитель — — имеет пре

делом нуль, что приводит к недопустимости высказанного предположения.

Далее Эрмит доказывает иррациональность

чисел г. и

§2. Доказательство существования трансцендентных чисел при помощи непрерывных дробей

Число х называется алгебраическим (соглас но терминологии, введенной немецким матема тиком Кронекером), если оно удовлетворяет алгебраическому уравнению вида

а0хп а1хп^ ]+

ап-\ х + ап = 0, (1)

где а0, аи .. ., ап—■целые рациональные числа. Если а0 — 1, то х называется целым алгеб раическим числом. Числа, не удовлетворяющие алгебраическому уравнению (Г), называются

трансцендентными.

Разделение чисел на два таких класса воз можно только в том случае, если предваритель но установлено существование трансцендентных

64 чисел. Впервые доказательство существования

этих чисел было дано французским математиком И. Лиувиллем в 1844 г. Приведем это доказа тельство.

Теорему, которую он доказывает, можно сформулировать следующим образом: если непре рывная дробь представляет собой алгебраиче ское число, удовлетворяющее неприводимому

уравнению*	(1)	/?-й степени (п >		1), и если
qm— знаменатель		m-и	подходящей	дроби, а
Qm +i ( t n	1) — неполное		частное, то отношение
Q

—~ 2~~ ПРИ неограниченном возрастании числа т


может стать	меньше некоторого		вполне	опре-
деленного числа		М.
В самом деле,		пусть уравнение
хп	ctiX"-' -г . . . •1- a-n-ix +		а„ = О	(Г)

имеет ; своим корнем, который выражается не прерывной дробью. Уравнение (1') будем счи тать освобожденным от рациональных и равных корней, что всегда возможно.

Рассмотрим разность между двумя последо

вательными подходящими дробям и-^-и					Рт4
Она равна			Чт		Чщ+ 1
Она равна
Pm	рт + 1 __		± 1
Чт	Чщ+\		ЧтЧщг1
Корень ; будет заключаться			между двумя ПОД-
ходящими дробями, а поэтому разность
Рт __j _		-____			(2)
Чт		Чт Чтf 1
* Уравнение с	целыми	коэффициентами		называется
неприводимым, если его левая часть не может быть пред
ставлена в виде произведения		двух	многочленов	с	целыми
коэффициентами.					65

5 Г. К. Остапов

где	г — правильная			дробь, меньшая				или боль
шая	нуля.
Если обозначить остальные корни уравнения
(Г)	через сь		... ,	tn-\,	то	получим
		хп +	axxn- x+		. . . + ап =
		= (* -& )(* - У . . .				(JC— ?«_,).
Определим			из	этого	тождества			разность
х —	заменив х на			число —
			Рт+I		Ят
Рт __£ __								П
Рт __£ __						а„ЯП
Ят		qnHoL—b) (lUL—?2				/	Рт
		т\ Ят	1\Ят			\	Ят
Замечая,		что — ---- \		= ------:-----, находим
		Ят		ЯтЯт +1
			Рт' ■«1Рт 1Яп				(1	Q^
			Рт' ■«1Рт 1Яп				итЧт
q'nqm+l		щт(Рщ— qAIPul—«2						• (3)
q'nqm+l		щт(Рщ— qAIPul—«2						'/1-1
		\Ят		/\Ят