ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.04.2024
Просмотров: 141
Скачиваний: 3
построить квадрат равной площади с кругом при помощи циркуля и линейки и даже больше — при помощи произвольно вычерченных алгебраи ческих кривых и поверхностей.
В 1885 г. немецкий математик |
Вейерштрасс |
||||||
(1815— 1897) |
дал новое, |
более простое |
доказа |
||||
тельство |
трансцендентности |
числа |
it. |
Замечая, |
|||
что е~‘ = — 1 |
и вообще |
ех |
может |
быть равно |
|||
минус единице лишь при значениях, |
кратных ти, |
||||||
Вейерштрасс доказывает |
трансцендентность я с |
||||||
помощью |
следующего |
предложения: |
величина |
||||
ех + 1 |
имеет, |
если х есть алгебраическое число, |
|||||
всегда |
отличное от нуля |
значение. |
|
|
|||
Отметим, что Линдеман высказывает еще одно более общее предложение, которое заклю
чается в следующем: |
выражение |
|
|
|||||||
|
|
А0е7° -- Ахе Л-. . . |
|
Апе* |
|
|||||
не может |
равняться |
нулю, |
если |
коэффициенты |
||||||
А,, |
Ах, ..., Ап— целые числа, |
отличные от ну |
||||||||
ля, |
а показатели а0, |
ох, ...> ап— алгебраические |
||||||||
и различные числа. Подробного |
доказательства |
|||||||||
этого положения ученый не приводит. Кроме |
||||||||||
того, он не доказывает, что коэффициент с0 |
||||||||||
после приведения |
остается не равным 0. |
|
||||||||
|
Доказательство этой теоремы дает Вейершт |
|||||||||
расс. Эта теорема включает как частный случай |
||||||||||
трансцендентность |
чисел |
е |
и т, |
одновременно. |
||||||
Интересным является частный |
случай этой тео |
|||||||||
ремы, который был указан |
Линдеманом, |
когда |
||||||||
п = |
2, Л = — 1, |
г х = 0, |
а0 = а, |
Ах = Л. |
Тогда |
|||||
получим, |
что |
равенство |
е* = |
Л невозможно, |
||||||
если a f |
0, Л — алгебраические |
числа. |
|
|||||||
|
Таким образом, |
мы приходим |
к обобщению |
|||||||
рассмотренной |
раньше |
теоремы |
Ламберта, а 73 |
|||||||
именно: показательная функция е* равна всегда трансцендентному числу, когда а есть алгеб раическое число, отличное от нуля; натуральный
логарифм |
алгебраического числа А, не |
равного |
|||
единице, |
есть |
всегда трансцендентное число. |
|||
что |
В самом деле, |
допустим обратное, а именно, |
|||
\пА = а, |
где |
а — алгебраическое |
число. |
||
Найдем А = еа или |
—Ае° = 0, т. е. мы прихо |
||||
дим к частному случаю теоремы Линдемана. |
|||||
ная |
Из первой теоремы следует, что показатель |
||||
кривая у = ех не содержит ни одной алгеб |
|||||
раической точки, кроме точки х — 0, у — 1. Эти теоремы показывают связь, которая существует между операцией логарифмирования и учением о трансцендентных числах.
Кроме того, Вейерштрасс заметил, что из общей теоремы Линдемана следует трансцен дентность sin я, если а — алгебраическое число.
Мы видим, что доказательства Эрмита и Линдемана были изложены Вейерштрассом в несколько упрощенном, более доступном виде. Кроме того, работы Эрмита и Линдемана были обработаны русским математиком А. А. Марко вым (1856—1922) [8].
В 1893 г. немецкий математик Гильберт (1862—1943) опубликовал небольшую работу, содержащую новое доказательство теорем Эрми та и Линдемана. Доказательства Гильберта и Эрмита совпадают. Упрощение, которого достиг
Гильберт, |
заключается |
в удачном выборе мно |
|
жителя М, а именно: |
|
||
М = |
1 |
zp |(2 — 1) (2 |
— 2 ) . . . (z — n)\P+le~zdz, |
|
|||
74 Р:
где р — некоторое простое число, удовлетворяю щее определенным условиям, ап — степень пред полагаемого уравнения.
Затем Гильберт рационально разбивает члены на целую и дробную части. Его рассуждения по своей простоте превосходят прежние иссле дования.
В доказательство Гильберта внес упрощения немецкий математик Гурвиц (1859— 1919), заме тивший что интегралы у Гильберта играют фор
мальную роль, |
а |
потому от них можно |
изба |
||||||||
виться. |
В сущности |
Гурвиц пользуется форму |
|||||||||
лой конечных приращений Лагранжа. |
|
|
|||||||||
|
Приведем доказательство |
трансцендентности |
|||||||||
числа |
е, |
принадлежащее |
|
Гурвицу |
[9, |
стр. |
|||||
424—427]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
С помощью формулы |
л: |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
e'F (0) = |
F (х) |
6 |
|
(x) dx, |
(11) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где / (х') — произвольная целая |
функция |
какой- |
|||||||||
нибудь |
степени |
v; |
|
|
|
|
|
|
|
||
F(x) = f (х) + Г (х) + /" (х) Jr . . . + |
/м (х), (12) |
||||||||||
легко доказать |
невозможность |
равенства |
|
||||||||
|
|
с0 - г схе -]- с2е2 -f . . . -|- спеп = |
0, |
(13) |
|||||||
где |
п — какое угодно целое |
положительное чис |
|||||||||
ло, |
а |
с„, |
сх, съ . .., |
сп— произвольные |
целые |
||||||
числа, |
причем с„ |
можно, |
очевидно, |
считать не |
|||||||
равным нулю. |
в формуле |
(11) вместо х |
после |
||||||||
|
Подставляя |
||||||||||
довательно числа 0, 1, 2, ... , |
п, умножая |
полу |
|||||||||
чаемые при этом |
равенства |
соответственно на |
|||||||||
с0, |
сх, |
. . ., |
сп и складывая их, |
получаем |
|
||||||
|
|
|
к-п |
|
|
(с0 + eye -- с,е2+ . .. -f спеп) ■F (0) = 2 |
ckF {Щ+ |
||||
|
k - n |
k |
fe-o |
|
|
|
|
|
|
||
|
-)■ 2 |
c*e*J e~xf ^ |
dx~ |
|
|
Допустив |
* = 1 |
0 |
равенства |
(13), |
|
существование |
|||||
найдем |
|
|
|
|
|
k=n |
k= n |
k |
|
|
|
0 = |
^ c kF (k) + |
e~Xf w |
dx- |
(14) |
|
fc= 0 |
ft=l |
6 |
|
|
|
Это равенство должно иметь место, какова бы ни была целая функция f(x), и мы увидим, что можно так выбрать функцию f(x), что невоз можность равенства (14) сделается очевидной. Тогда будет доказана и невозможность равенст ва (13), потому что (14) есть необходимое следствие (13).
Положим
/ (*) = |
), хр~1(х— 1)' (.v-2у . .. (.х—п у , (15) |
|||||
где р — простое |
число, |
сколь |
угодно |
большое. |
||
Покажем, |
что при р > |
п и р > |
| с01первый член |
|||
в равенстве (14), |
т. |
е. |
|
|
|
|
|
|
k-=tl |
|
|
|
|
|
|
2 |
^ |
(*). |
|
|
|
|
k =0 |
|
|
|
|
есть целое число, не |
равное |
нулю, |
а второй |
|||
член |
|
|
|
|
|
|
|
k- |
П |
k |
|
|
|
|
\ |
ckekJ e~xf (х) dx |
|
|||
|
к= 1 |
0 |
|
|
|
|
76 при достаточно большом р будет как угодно
мал [io абсолютной величине. |
Тогда |
невозмож |
||||||||||||
ность равенства (14) станет очевидной. |
предста |
|||||||||||||
Заметим, что функцию f (х) |
можно |
|||||||||||||
вить в виде многочлена, расположенного по |
||||||||||||||
возрастающим |
степеням х, |
или |
в |
виде много |
||||||||||
члена, расположенного по возрастающим степе |
||||||||||||||
ням (х — /г), где k — любое |
из чисел |
1, |
2 |
|
|
п. |
||||||||
Первое |
разложение будет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
/(.V) = (~ |
i j j |
И л-р- ' |
+ Вхп-\ |
Схр11 -1- .. .), |
(16) |
|||||||||
второе |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(17) |
|
причем все коэффициенты А, В, С, |
.. |
|
В*, |
Ск, |
||||||||||
как видно из выражения (15), есть целые числа. |
||||||||||||||
Важно |
заметить, |
что |
А не |
делится |
на |
р, |
||||||||
если р — простое |
число |
и больше |
п. В |
самом |
||||||||||
деле, А = |
- (п\)р, как показывает формула |
(15), |
||||||||||||
а число А не может |
делиться |
на |
р, |
если |
р ■— |
|||||||||
простое и больше п. |
и (17) ясно, что |
|
|
|
|
|
||||||||
Из разложений (16) |
|
|
|
|
|
|||||||||
/ (0) = /'(0) = |
. . . = |
/<р- 2>(0) = |
0, |
р -'> |
(0) = |
А, |
||||||||
fiP)(0) = Bp, |
/<Р!1>(0) = |
С р ( р + |
1), |
..., |
|
|
||||||||
f{k) = r (£) = |
. . . = |
|
|
(*) = |
0, |
|
|
|
||||||
/<р> (k) = Вкр, |
/<р : !) (k) = |
Скр{р-г 1), |
|
|
|
|
||||||||
а отсюда, принимая во внимание (12), выводим, |
||||||||||||||
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F (0) - |
A f Вр + |
Ср (р |
1) + . |
|
|
|
|
|||||||
есть целое число, не делящееся на р, а |
|
|
|
|||||||||||
F(k) = BkP 4- С*р (р + |
1) + |
---- |
|
|
|
77 |
||||||||
