Файл: Никитин, Борис Дмитриевич. Векторный анализ учебное пособие для студентов заочных высших технических учебных заведений.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 04.04.2024

Просмотров: 55

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Поэтому остается справедливым только первый случай:

_л_ __ __

угол (Nn0) =;0° — это и означает, что Л^Цпо. Тогда из

формулы (б) имеем: =|./V| и из формулы (3) по­

лучаем:

grad ? || TV и |grad?| — |7V|.

Таким образом, векторы Л/' и grad? параллельны меж­ ду собой и имеют одинаковую длину, следовательно, они

равны между собой. Это и доказывает формулу (4).

Формула (5) следует непосредственно из формул (2), (4) и из геометрического смысла скалярного про­ изведения (см. форм. 7, -с.):

(д/) Z = пр-grad ? (М).

Из .доказанной формулы (5) непосредственно получаем следующее важное

следствие'. Вектор grad?(A4) в каждой точке поля показывает направление, по которому скорость измене­ ния поля наибольшая из всех скоростей в этой точке. Эта наибольшая скорость равна модулю вектора grad ?:

max

!grad?|,

(6)

где

 

 

 

п01| grad ср (Л4).

 

 

В самом деле, если

вектор Z не

параллелен вектору

grad ? (Л1), то по формуле (о)

 

 

-^-=прг grad ср (Ж) <| grad <р (М)].

 

Положим, в формуле

(5) Z = n0 ||

grad ?(Л1),

тогда

-^=- == пр- grad? (М) = | grad ? (Ж) |.

d/i0

I

= |grad ?(Ж)|>|^ ,

Таким образом,

действительно,

если I не совпадает с «в, что и доказывает наше утвер­

ждение.

16

Пример. Найти наибольшую скорость изменения по­

ля

ср = 5 x2yz — 7xy2z5 xyz2

в точке М (1; 1; 1).

Решение.

= lOxyz - 7y>z + 5yz2;

=10 — 7 + 5 = 8;

С/«А»

С/Л

-^ = 5x2z — 14xyz + 5xz2; -^^-=5—14+5 = —4;

= 5х2г/-7г/2% + wxyz. 2^L=5-7 + 10_8.

Тогда в точке M (1; 1; 1):

grad ср (Л4) = 8 г — 4 j + 8 ~k.

Согласно доказанному, наибольшая скорость изме­ нения поля в точке М будет по направлению grad ср и численно равна |grad ср (Л4) |.

тах(-^0 = | grad ср' | = /82 + 42 + 82 = 12.

Дифференциальные свойства градиента поля. Из формулы (4) и известных правил дифференцирования функций легко получаются следующие дифференциаль­ ные свойства градиента поля:

 

grad (cpj + ср2)

= grad <pt + grad ?2;

(7)

 

grad Cep = C grad ср (C = const) ;

(8)

 

grad ^cp2 = cp2

grad ?!+ cp! grad cp2;

(9)

 

grnd-^- = —(cp2 grad cp, — cp] grad cp2);

(10)

 

™

<p2

 

 

 

 

grad ^(cp) =grad cp.

(11)

Все эти формулы доказываются аналогично.

Докажем,

например, формулы 9 и 11.

 

2

Векторный анализ

 

 

17

1

ГОС. ПУБЛИЧНАЯ

'О Г Л

 

;

НА -ЧН-ТЕХНИЧЕСНАЯ лС б Ь U

 

(9)

grad?1?2=-^- .7+-^- J +

=

~

• ?2 + 4? 1 + • ?2 + -^ ?1) 7 +

 

+?2 + ?1) £ = ?2 grad ?! -ф ?! grad ?2;

(11) grad/?(?) ~ i + J + -j- k. (a)

Но по правилу дифференцирования сложной функции имеем:

dF

dF

d?

dF

dF

dy .

dF

dF

df

 

dx

d<f

dx ’

dy

d'-f

dy ’

dz

d<f

dz

 

Подставляя эти значения

в

(а),

получим

требуемую

формулу.

 

 

 

 

 

 

 

дифферен­

Скалярное произведение вектора grad? на

циал радиуса-вектора dr = idx -ф- jdy -фkdz

равно

диф­

ференциалу

? (Л1):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

grad <?dr = d?.

 

 

(12)

Действительно, возьмем в поле произвольную

точку

Л1 (х; у,

г)

и проведем в

нее рддиус-вектор.

 

 

 

 

1

г — xi -ф yj -ф. zk;

 

 

 

тогда

dr — idx -ф- jdy -ф- kdz.

Скалярное произведение

векторов

 

grad? = i-~ ф- j-^- + k-~- и dr

“ т

dx

J dy

dz

равно сумме произведений их одноименных проекций

grad ? • dr = dx ф- dy -ф dz = dy

\(см. форм. 6,с и 18,с).

Если Adr = d®, то А = grad ?.

(13)

Действительно, пусть Adr=d<?, тогда по формуле

(12) имеем:

Adr = grad? dr

IS

или

(Л — grad<p )dr = О,

Вектор dr— произвольный вектор, поэтому он может быть отличен от нуля и не перпендикулярен вектору А. При этих условиях, из равенства нулю скалярного про­ изведения, следует

А — grad <р = 0,

что и доказывает формулу (13).

Пример. Найти градиент модуля радиуса-вектора

г — xi 4- yj + zk.

Решение. По определению:

г — | г I = |/ х2 у2 + 22.

Определим градиент этой функции, воспользовавшись

свойствами (11)

и(7):

 

 

 

,

---- ГП—9~ grad Ох2 + У2 + 2'2)

grad ]/х2

+ z/2 + г2

=

f

J р А»

 

 

Л*

=(gradx2 + gradz/2 + grad?2) =

-4- (2хГ+2^7+2г^) = ~ 27=~г°,

где г° — единичный вектор по направлению г.

Пример. Доказать, что нормаль в каждой точке ги­ перболы делит пополам угол, образованный векторами, проведенными в данную точку гиперболы из ее фоку­

сов (см. рис. 10).

Решение. Гипербола представляет собой геомет­ рическое место точек, разность расстояний которых от ее фокусов F{ и F2 есть величина постоянная. Таким об­ разом, гипербола является линией уровня скалярной функции <? = Г1—г2. Градиент этой функции будет:

grad <р= gradri — gradr2 = г? — г”,

—о —о

где Г1 и г2—единичные векторы, направленные из фоку­ сов в данную точку гиперболы (см. рис. 10). Таким об­ разом, градиент функции совпадает по направлению’с

2*

19

Диагональю параллелограмма, построенного на векто­ рах г° и—г°. А так как модули этих векторов равны, то диагональ делит угол между ними пополам. Следова­

тельно, нормаль к

гиперболе

п0, которая

совпадает с

 

 

 

направлением

градиен­

 

 

 

та,

тоже

делит

угол

 

 

 

_между векторами г^ и

 

 

 

/'2

пополам.

скаляр­

 

 

 

Определение

 

 

 

ного поля по его гради­

 

 

 

енту.

 

 

 

 

 

 

 

 

В настоящем параг­

 

 

 

рафе мы научились ре­

 

 

 

шать задачу: дано ска­

Рис. 10

 

 

лярное

поле

? (Л4).

 

 

Требуется

определить

 

 

 

градиент

этого

поля.

Естественно возникает вопрос о решении обратной

задачи: Дан градиент поля. Требуется определить

поле

Т (44).

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение обратной задачи существует и определяется

формулой:

 

 

 

 

 

 

 

 

? (Л1)

=

С grad ? dr-Д ?.(Л40),

 

 

 

(14)

 

 

Л10Л[

 

 

 

 

 

 

где М0М—любая линия, соединяющая точки

Мо и М,

на которой ? (Л1) дифференцируема.

 

 

 

 

В самом деле,

по формуле

(12)

 

 

 

 

 

grad? - dr — dy >

ипоэтому

У(М) — у (ЛД) =. J dy = J grad у dr,

Л10Л1 Л;ОЛ1

что и доказывает формулу (14).

Из этой формулы видно, что вектор grad у достаточ­

но полно характеризует само

поле у (44). (Нетрудно

заметить, что первая задача

аналогична задаче диффе­

ренциального исчисления — нахождению производной

данной функции. Вторая задача аналогична задаче ин­ тегрального исчисления — нахождению функции по ее производной.)

20

Упражнения

Доказать, что:

1) grad ± = --J-.

2) grad arc tg -у- =

(-yi + xj).

3)(r grad f (r)) = f'(r) -r.

4)Нормаль к параболе делит пополам угол, образо­ ванный вектором, проведенным в данную точку парабо­ лы из ее фокуса, и перпендикуляром, опущенным из дан­ ной точки на директрису.

5)

grad

(re) = с

(с — const).

 

 

 

6)

Найти наибольшую скорость изменения поля

<р — In2 (х2

У2 4~4г) в точке М (0;

1;

2).

поля будет

 

Ответ.

Наибольшая скорость изменения

по

направлению

4

—

—

и численно

вектора -5- In 3 (3/ + 4k)

20 1 Q

равна -д-1пЗ.

Глава II

ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ

§ 1. Поток векторного поля

Прежде чем дать определение понятия потока поля через поверхность, рассмотрим следующую задачу (см.

рис. 11). Пусть в некоторой части пространства задано течение несжимаемой жидкости с постоянной ско­

ростью V.

В потоке жидкости, перпендикулярно V, поставлена проницаемая пластинка площади

S. Требуется определить объем

жидкости, протекающей через данную пластинку за единицу времени.

Решение. За единицу време­ ни каждая частица жидкости пе­ реместится по направлению дви­ жения на расстояние V. Поэтому все частицы жидкости, находя­

щиеся в начальный момент вре­ мени перед пластинкой на рас­ стоянии не более чем на V, за единицу времени . пройдут через

пластинку. Следовательно, за еди-

ницу времени через пластинку S протечет объем жид­ кости

77 = V.S.

Величина этого объема V • S и называется в этом случае потоком постоянного вектора V через площадку S.

82

Смотрите также файлы