Файл: Никитин, Борис Дмитриевич. Векторный анализ учебное пособие для студентов заочных высших технических учебных заведений.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.04.2024
Просмотров: 62
Скачиваний: 0
|
4 . |
|
|
|
Ltp |
|
7o |
||||
|
p5 sili 0 ’ |
|
|
T’ |
|
p sin 0 |
|||||
rot A = |
|
d |
|
|
|
|
|
d |
|
|
d |
|
d? ' |
|
|
|
|
|
|
|
oft |
||
cos i sin 0; |
— p sin ф sin 9; |
p COS Ф COS 0 |
|||||||||
7„ |
(— sin ф cos 0 |
|
|
• |
p 4- sin < cos 0 |
• p) — |
|||||
= -r |
• д ■ |
r |
|||||||||
p2 |
sin 0 |
' |
1 |
|
|
1 |
T |
|
' |
||
-----~ ( |
COS p • cos 0 — cos Cf> cos 0) |
+ |
|||||||||
|
7b |
(— sin |
ф sin 6 |
|
|
4- sin |
ф sin 6) = 0. |
||||
—г-тг |
|
1 |
|||||||||
p |
sin о |
4 |
1 |
|
|
|
‘ |
|
' |
|
|
Из равенства rotX =0 следует, что поле потенциально. Нетрудно заметить, что
А =. grad (р • cos ф sin 9 > (проверьте это)
|
Упражнения |
1. Дано скалярное поле в цилиндрических координа |
|
тах |
|
Найти grad |
ф. Непосредственным вычислением пока |
зать: |
rot grad ф = 0; б) div grad ф=Дф. |
a) |
|
2)Дано скалярное поле в сферических координатах:
ф= posin'2? cos 9.
Найти grad ф. Непосредственным вычислением пока
зать:
a) rot grad ф = 0; б) divgrad|p=A'J».
|
|
Приложение |
|
КРАТКИЙ СПРАВОЧНИК ПО ВЫСШЕЙ |
|
||
|
МАТЕМАТИКЕ |
|
|
|
Векторная алгебра |
|
|
Вектором А называется величина, которая харак |
|||
теризуется |
числом, измеряющим ее |
в определенных |
|
единицах |
меры, и направлением в пространстве |
(ско |
|
рость, сила, ускорение). |
|
|
|
Число |
| А |, измеряющее векторную |
величину |
А в |
определенных единицах меры, называется длиной, или модулем вектора А.
Геометрически векто ры изображаются стрел камиНаправление стрел ки указывает направление вектора, а длина стрел ки — длину вектора (см.
рис. 1, с).
Вектор, имеющий дли ну вектора А, а направление, противоположное А, обозначают символом: — А.
Вектор nQ называется^ единичным, |
если | п„ | = 1. |
Проекция вектора А на направление единичного |
|
вектора п0 определяется формулой: |
|
\ПРп0А = Й)«0 = 1Л1 cos Й«о). |
(1,с) |
Пусть z, j и k — единичные векторы, |
направленные |
по положительным направлениям осей декартовой пря моугольной системы координат xoyz, а Ах, Ау, Аг —
91
проекции вектора А на направления векторов i, ]\ k соответственно. Тогда вектор А можно представить в ко ординатной форме:
Д = Axi -f- Ayj -ф- Azk, |
(2, с) |
||
Ах, Ay, Az называются координатами вектора |
А. |
||
Вектор г, проведенный из начала координат в точку |
|||
M(x;y;z), называется радиусом-вектором точки М |
|
|
|
г(М) |
yj zk. |
|
|
Сумма А -}-В и разность А — В двух векторов А |
и |
В |
|
определяется правилом параллелограмма (см. рис |
2,с). |
||
Сложение векторов |
подчиняется законам сложения |
||
чисел; а) закону переместительности^ Л_Д-В = ВД-Д; б) закону сочетательности: (ЛД-В) Д- С =А-[-(В-{-С)=; = А Д-ВД-С.
Если векторы А и В даны в координатной форме:
А= Ах i -j- Ayj ф- Azk~,
В= Вх i Д- Byj ф- Bzk,
то
А ± В = (Ах ± ВЛ)?Д- (Ау ± Ву)7+ (Л ± BJk |
(3,с) |
||
Произведение а |
А, где |
а —любое число |
(скаляр), |
есть вектор длины |
| а А |, |
параллельный вектору А, ес |
|
ли <х>0 и вектору — А, если а <7).
92
Умножение йектора на скаляр подчиняется законам
умножения чисел: |
_ |
|
|
а) |
закону переместительности: |
кА = Ах; |
|
б) |
закону сочетательности а ({3 Л) = (а [3) А = а [3 |
Л; |
|
в) |
закону распределительности |
(а 4- р)Д = а А + Р А ■ |
|
|
Скалярным произведением АВ называется |
произве |
|
дение длин векторов А и В на косинус угла между ни ми:
|
ДВ = |Л| • |
I£lcos(i5). |
(4,С) |
Например, |
ij —Jk = ik = 0; it — jj = kk = 1. |
|
|
Скалярное умножение |
подчиняется законам |
умно |
|
жения чисел: |
|
|
|
АВ = ВА-, (А-{-В)С =AC + В'С, |
|
||
но |
(а А)В = А(аВ) = хАВ, |
(5,0 |
|
__ __ |
_____ |
|
|
|
(АВ) С =h |
А(ВС). |
|
Если векторы заданы в координатной форме, то скалярное произведение их равно сумме произведений одноименных координат.
АВ — АХВХ 4- АуВу AZBZ. |
(6, с) |
Если па — единичный вектор, то |
|
~Ап. = пр-А= (Л)-. |
(7,с) |
Длина вектора А, заданного в координатной фор ме, вычисляется по формуле:
I Н I = УД2+Д2 + Д2 .
Для перпендикулярности двух векто
ров А и В необходимо и достаточно, чтобы их скаляр ное произведение равнялось нулю:
АВ = АХВх 4- АуВу 4~ AZBZ = 0. |
(8, с) |
Два вектора называются коллинеарными, |
если |
93
они расположены на параллельных прямых |
(их направ |
|||
ления одинаковы или противоположны). |
|
|||
Для коллинеарности двух векторов А и |
||||
В необходимо и достаточно, |
чтобы |
их |
одноименные |
|
координаты были пропорциональны: |
|
|
||
Л г |
Ау _ Az |
|
(9, с) |
|
Вх |
~ Ву |
вг |
|
|
В Дальнейшем мы всегда будем пользоваться правой |
||||
системой координат |
(см. рис. |
3, с). |
В правой системе |
|
координат направление оси oz совпадает с направлени ем поступательного перемещения правого винта, если
вращать его так, чтобы при повороте на угол 90° ось ох
совпадала с осью оу. |
___ |
Векторным произведением |
[АВ] называ |
ется вектор, длина которого равна |Л| 1Д| |
sin [АВ), и |
направлен перпендикулярно к плоскости, в которой рас положены векторы А и В, в сторону поступательного движения правого винта, если вращать винт от первого сомножителя ко второму в направлении наименьшего угла между векторами А и В (смрис. 4, с).
94
Например,
|
lli\ = UJ] = lk~k] = O-, |
|
[7/] = ^; IJk] =7; |
|£Z]=7- |
|
Векторное |
произведение |
обладает следующими |
свойствами: |
|
|
[45] = — [54]; |
а[45] = [а45] = [4а5]; |
|
|
|
(Ю,с) |
[4(5 + С)] = [45] + [4С].
Если векторы А и В даны в координатной форме, то
их векторное произведение |
может быть |
записано при |
||
помощи определителя: |
|
|
|
|
|
г, |
j-, |
k |
|
И5] = |
Ах; |
Ау-, |
Аг |
(11,С) |
|
Вх> |
Ву\ |
Bz |
|
или в развернутом виде (если разложить определитель по элементам первой строки):
[45j = (AyBz — 4г5у) i + (AZBх — AXBZ)j +
+ (AxByAyBx)~k. |
(12,с) |
Смешанным произведением трех |
векторов |
называется скалярное произведение одного из векторов на векторное произведение двух других-. А [5С].
Смешанное произведение трех векторов |
обладает |
свойством |
|
4[5С] = [45]С. |
(13, с) |
Поэтому его записывают так: АВС.
Если векторы А, В, С даны в координатной форме, то
смешанное произведение |
их вычисляется при помощи |
|
определителя: |
|
|
47 С = |
■^Х’ -^У’ *А |
|
Вх, |
ВуBz |
|
|
Сх, |
Cv; Cz |
95
Двойным векторным произведением трех векторов называется векторное произведение одно
го из них на векторное произведение |
двух |
других |
||
ДОС]]. |
|
|
|
|
Справедлива следующая формула: |
|
|
||
[Л[ДС]] = Д\(ЛС) — С(ЛВ), |
|
(14, с) |
||
где (ЛБ) и (АВ) — скалярные произведения. |
|
|||
Дифференциальное исчисление |
|
|||
Если каждому числу *х |
из |
некоторого |
множества Р |
|
поставлено в соответствие |
по |
некоторому |
закону |
число |
у, то говорят, что на множестве Р задана функция и пишут у = /(х)
Если каждой паре чисел (х\ у) или тройке чисел (х; у, z) из некоторого множества Р поставлено в соот ветствие некоторое число и, то говорят, что на мно жестве Р задана функция двух или трех переменных, и
пишут u = f(x; у) или u = f (х; у; 'z). Часто |
функцию |
||
записывают в |
виде: u — f (М), |
понимая под этим, что и |
|
есть функция |
координат точки |
М(х) или М(х; |
у), или |
М(х; р; z).
Запись М->М0 означает, что точка М неограниченно
приближается к точке Мо. Точный смысл записи М -> Мо раскрывается следующим образом: каково бы ни было число 8, наступит такой момент изменения положения точки М, начиная с которого длина отрезка МйМ остает
ся все время меньше 8 . Число Л называют преде
лом функции / (М) в точке Мо и пишут Л = lim f (М),
M^ML>
если при неограниченном приближении точки М к точ ке Мо числа f(M) неограниченно приближаются к чис лу Л. Точный смысл понятия предела раскрывается сле
дующим образом: |
А = lim / (/И), если для любого £ ^>0 |
существует такое |
м ->м0 |
8, что как только длина ММй меньше |
|
8 , так |
1/(М) -Л|<8. |
|
|
Функция f(M) |
называется непрерывной в точке Мо, |
если ее предел в точке Мо существует и равен значению
96
