Файл: Невский, Александр Сергеевич. Применение теории подобия к изучению тепловой работы нагревательных печей.pdf

ГЛАВА I

МЕТОД АНАЛИЗА РАЗМЕРНОСТЕЙ

Применение теории подобия возможно', если известны уравне­ ния, описывающие изучаемые явления. В тех случаях, когда такие уравнения не могут быть составлены, теория подобия не может быть применена. Иногда бывает целесообразным применение метода анализа размерностей, дающего результаты аналогичные теории подобия.

Сущность метода анализа размерностей заключается в сле­

дующем. Предварительно устанавливают величины, предположи­ тельно влияющие на протекание исследуемого явления, и состав­ ляются размерности этих величин. Затем определяются условия, при которых интересующие исследователя функциональные связи не зависят от единиц, в которых измерены величины.

При исследовании задачи методом анализа размерностей рас­ сматриваются первичные, или основные, величины и вторичные. Вторичные величины являются функциями первичных. Размер­ ность вторичных величин определяется через первичные по соот­

ношениям связи между ними.

Основной теоремой анализа размерностей является так назы­ ваемая тс -теорема, или теорема Букингэма. По этой теореме всякое уравнение, связывающее между собой п физических вели­ чин, может быть приведено к зависимости между i безразмерны­

ми комплексами из этих величин, где i равно разности между числом величин п, входящих в уравнение, и числом первичных величин. После того, как установлены вторичные и первичные величины, входящие в задачу, тс-теорема позволяет найти число

независимых безразмерных комплексов (критериев), между ко­

личинах.

Показатели степени должны быть подобраны так, чтобы полу­ чались безразмерные выражения для критерия П. Пусть размер­ ности вторичных величин Xi, х2, х3... относительно первичных для

9

величины Xi—аь blt Ciдля величины x2—a2, b2> сг ■■■ и т. д., тогда размерность произведения (1) относительно первичных ве­ личин будет

Число уравнений равно числу первичных величин т, число неиз­ вестных равно числу вторичных величин. За исключением неко­ торых специальных случаев число п больше т.

Уравнения (2) представляют собой систему неопределенных уравнений, поэтому получается бесконечное количество решений. Однако число независимых решений будет равно п—т, следова­ тельно, может быть составлено п—т независимых безразмерных комплексов (критериев). Все остальные критерии, которые могут быть получены путем решения системы уравнений (2), будут про­ изводными. Выбор того или иного варианта системы независимых критериев производится из соображений удобства последующих

исследований по изучаемому вопросу.

Рассмотрим в качестве примера известную задачу определе­ ния перепада давлений при течении жидкости в гладкой горизон­ тальной трубе одинакового диаметра. Перепад давлений Ар определяется длиной I и диаметром d трубы, скоростью жидкости до, ее плотностью р и вязкостью р- . Таким образом имеем 6 вто­ ричных величин, входящих в задачу. Составляем размерности этих величин:

[Др] = кг/лР;

[d] = м;

[Z] =

[до] = м.!сек\ [р]— кг ■ сек2/м*; [р.] = кг • сек/м2.

Число первичных величин равно' трем (кг, м и сек), следова­ тельно, число независимых безразмерных критериев так же рав­ но трем. В результате рассмотрения размерностей (3) определя­ ется первый критерий.

Для определения остальных двух критериев составляем соотно­ шение по типу (1)

10

ГЛАВА II

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ

1. Определяющие уравнения и условия однозначности

Для применения теории подобия к рассмотрению явлений необходимо иметь уравнения, описывающие эти явления. Такие уравнения будем называть определяющими уравнениями. Опре­ деляющие уравнения описывают механизм явлений, происходя­ щих в изучаемой системе и на ее границах. Уравнения, описы­ вающие явления на границах системы, называются граничными. В зависимости от постановки задачи, граничные уравнения могут быть или не быть. В последнем случае они заменяются заданием некоторых переменных, входящих в уравнения.

Так, например, при изучении нагрева тела средой с заданной

температурой tQ при определенном коэффициенте теплоотдачи а, описание механизма нагрева тела в объеме дается уравнением

теплопроводности, а процесс передачи тепла на границах системы

описывается уравнением теплопередачи Q=a(/0—t). Если же заданной является температура на границе, то граничное уравне­

ние отпадает.

Система определяющих уравнений охватывает бесконечное количество объектов, имеющих различную геометрическую фор­ му, различные величины физических констант, различное началь­ ное состояние. Всю эту совокупность систем, которые описывают­ ся определяющими уравнениями, мы будем называть классом

явлений. Определяющие уравнения являются моделью класса явлений.

Классу явлений противопоставляется индивидуальное явление, т. е. такое, .когда значения всех исследуемых величин известны

во всей конкретности, т. е. в каждый момент времени и в каждой точке пространства. Для того, чтобы перейти от класса явлений к индивидуальному явлению необходимо к определяющим урав­ нениям добавить условия однозначности. Условия однозначности определяют все те особенности процесса, не зависящие от его

механизма, которые существенно влияют на его ход. В частности, в условия однозначности входят поля всех определяющих

величин.

Важнейшая задача исследователя — найти такую систему

определяющих уравнений, которая, при соответствующим обра-

13