Файл: Невский, Александр Сергеевич. Применение теории подобия к изучению тепловой работы нагревательных печей.pdf

выраженные в безразмерном виде, будут во всех подобных систе­ мах тождественными.

Величины в уравнении (24) не меняются при переходе от одной подобной системы к другой. Поэтому их называют инва­ риантами подобия. Очевидно, что произвольная функция инва­ риантов будет также инвариантом.

Возьмем в группе подобных систем сходственные точки 1, 2, 3

и составим линейный многочлен

преобразуется подобно, с тем же множителем подобного преобра­ зования, что и для самой скалярной величины. Это положение справедливо, в частности, и для 'Случая разности двух величин

Если точки, для которых взяты значения q\ и q2, неограничен­ но сближать, то выражение (29) превратится в дифференциал q.

5. Подобие полей векторных величин

Возьмем две геометрически подобные системы с полями век­

тора в каждой из них. Установим, какие признаки характеризу­ ют подобие этих полей.

Вектор можно рассматривать или как направленный отрезок, определенной длины, или как совокупность трех величин — проек­ ций вектора на оси координат. Если исходить из первого опреде­ ления, то подобные поля вектора должны характеризоваться

одинаковой его направленностью в сходственных точках относи­ тельно осей координат и подобием полей его модуля. Если исхо-

дить из второго определения, то подобие полей вектора должно заключать в себе подобие полей трех его проекций на оси коор­ динат. Если при этом условии коэффициенты подобного преобра­ зования для всех трех полей будут одинаковы, то оба рассмотрен­ ных условия будут тождественны.

Наличие первого условия влечет за собой необходимость второго. Наоборот, подобие полей проекций вектора на оси коор­ динат влечет за собой одинаковую ориентацию вектора в сходст­ венных точках и подобие полей модуля вектора. Множитель подобного преобразования для модуля вектора и для проекций один и тот же.

6.Степенные комплексы

Втеории подобия большую роль играют степенные комплексы первичных величин. Представим себе, что в группе геометрически подобных систем поля величин а, Ь, с... подобны. Множители

где а, Ь, с... и а', Ь', с'...—значения величин в сходственных точ­ ках обеих систем.

Отношение величин (32) и (31)

т. е. в подобных системах имеет место подобие степенных комп­ лексов первичных величин, и множитель подобного преобразова­

20

чин, составленный по какой-нибудь одной группе сходственных точек, отличается от степенного комплекса, составленного по другой группе точек, постоянным множителем. Если при состав­ лении степенного комплекса одни величины будут приниматься по одной группе сходственных точек, а другие по другой, то вывод

о подобном преобразовании величины У остается в силе. Разви­ вая эти мысли дальше, приходим к общему выводу, что в группе

подобных систем степенные комплексы, в которых разные вели­ чины берутся по разным группам сходственных точек, отличаются друг от друга постоянными множителями.

7. Подобие усредненных величин

.При анализе явлений, происходящих в промышленных агре­

гатах, часто приходится иметь дело с усредненными значениями величин. Такое усреднение выполняется или по объему или по

поверхности. Рассмотрим как преобразуются усредненные вели­ чины в группе подобных систем.

Самый простой случай усреднения — получение среднего интегрального значения величины по поверхности или по объему. Возьмем две геометрически подобные системы с подобными по­

21

т. е. средняя по поверхности величина t преобразуется с тем же множителем подобного преобразования, как и локальные ее

значения.

Рассмотренный простейший способ усреднения величины по

поверхности часто встречается на практике, в частности, при определении средней температуры поверхности нагрева при ее теплообмене с окружающей средой. Вместе с тем такое усредне­ ние зачастую не соответствует физическому существу рассматри­ ваемых явлений, и процесс усреднения должен производиться по принципу определения среднеинтегрального значения осредняе-

мой функции с различным удельным весом ее в различных точ­

ках поверхности или пространства. В этом случае имеем формулу

усреднения

jA/d/

где t — осредняемая величина.

Применим формулу (42) к группе подобных систем и будем считать, что А является функцией точки и представляет собой степенной комплекс некоторых величин, подобных в группе рас­ сматриваемых систем. В предыдущем параграфе было показано,

что такой комплекс будет подобной величиной, т. е. его значения

где СА — множитель подобного преобразования комплекса.

Записав формулу (42) для двух подобных систем и применив соотношения (40) и (43), можно легко найти, что коэффициент подобного преобразования среднего значения величины t и для случая усреднения по формуле (42) будет равен коэффициенту подобного преобразования для локальных значений этой вели­ чины. Если величина А не подобна в рассматриваемых систе­ мах, то правило это не будет соблюдаться.

Примером усреднения по формуле (42) может служить опре­ деление средней температуры жидкости или газа при их движении вдоль трубы. В этом случае вместо величины А следует подста­ вить произведения локальных значений скорости среды на соот­ ветствующие значения плотности и теплоемкости.

Усреднения величин по объему особо не рассматриваются, так

как этот случай совершенно аналогичен случаю усреднения по

поверхности. Усредненные по объему значения усредняемой величины для систем, в которых соблюдаются условия геометри­ ческого подобия, подобия полей усредняемой величины и полей коэффициента, определяющего удельный вес этой величины, пре­ образуются как и локальные ее значения.

22