Файл: Невский, Александр Сергеевич. Применение теории подобия к изучению тепловой работы нагревательных печей.pdf

зом выбранных условиях однозначности, полностью определяет в пространстве и во времени все исследуемые величины. Состав­

ленная таким образом система уравнений называется замкнутой,

или полной.

Второй важнейшей задачей исследователя является форму­

явлений.

В число условий однозначности входят следующие: 1) геомет­ рические свойства системы; 2) поля определяющих величин в рассматриваемом объеме и на поверхности, в том числе сущест­ венные для процесса физические константы; 3) поля определяе­ мых величин во всем объеме и на поверхности в начальный мо­ мент времени; 4) поля определяемых величин на границах

системы.

Весь комплекс процессов, происходящих в тепловых аппара­

тах, складывается из отдельных видов явлений. Так, например,

при нагреве тела током воздуха мы имеем явления нагрева, опре­ деляемые теплопроводностью в массе тела, явления передачи тепла в воздухе, явления гидродинамики. Иногда количество

видов явлений бывает очень большим. В соответствии с этим

будет велико и количество определяющих уравнений.

Взависимости от постановки задачи определяющие уравнения

иусловия однозначности могут составляться по-разному. Так,

при исследовании работы какого-нибудь теплотехнического агре­

гата, можно рассматривать весь агрегат со всеми вспомогатель­ ными устройствами, представив его работу при помощи исчерпы­ вающей совокупности уравнений. В таком случае в число условий однозначности войдут только геометрические характеристики системы и факторы, величина которых не зависит от функциони­ рования самого агрегата (температура окружающего простран­ ства, качество топлива, способ подачи топлива и воздуха, избы­ ток воздуха). Наоборот, можно ограничивать исследование рам­

ками отдельных частей агрегата, например исследовать только рабочее пространство печи, не рассматривая работу вспомога­

тельных агрегатов и теплообмена в кладке. Можно ограничить исследование рассмотрением определенной группы явлений, оста­ вив в стороне другие, например рассматривать только явления излучения без одновременного исследования явлений гидродина­

мики и горения.

Ограничивая в том или ином направлении область исследова­ ния, необходимо всякий раз принимать другие условия однознач­

ности.

Выбор той или иной области исследования диктуется поставленной задачей и возможностями в проведении анализа.

Чем больше ограничивается область исследования, тем проще получается самое исследование и тем легче выделить основные

14

зависимости процесса. Вместе с тем, ограничение области иссле­ дования увеличивает число определяющих величин, которые сами

зависят от условий работы агрегата, что является отрицательным

моментом в исследовании.

Степень влияния различных явлений различна. Проводя иссле­ дование, необходимо' разобраться в степени влияния каждого явления на работу агрегата. Следует выделить основные опреде­ ляющие явления и все внимание сосредоточить на них. В зависи­ мости от характера задачи можно подвергнуть анализу также и второстепенные явления или отказаться от такого анализа, выбрав соответствующим образом условия однозначности. Явления, влияние которых практически ничтожно, следует исключить из анализа, так как они, затрудняя исследование, могут способство­ вать тому, что основные зависимости останутся недостаточно

выявлены.

При анализе работы нагревательных печей основными явле­ ниями, определяющими теплообмен, можносчитать явления излучения и нагрева металла.

2. Метод теории подобия

Система определяющих уравнений и условий однозначности

полностью описывает явление. Однако в большинстве случаев практическое решение, т. е. установление конкретных значений определяемых переменных для каждой точки пространства и мо­ мента времени, встречает непреодолимые трудности. Эти трудно­ сти вытекают из сложности определяющих уравнений и невоз­ можности вследствие этого найти их общее решение. В таких случаях приходится обращаться к эксперименту и находить опыт­ ным путем интересующие исследователя зависимости. Вместе с тем получить непосредственно экспериментальным путем полную картину явлений чаще всего не представляется возможным из-за очень большого количества величин, определяющих явления.

В таких случаях большую помощь исследователю может оказать-

теория подобия, позволяющая заменить связь между отдельными величинами зависимостью между их комбинациями — критерия­ ми. Этим значительно сокращается количество независимых пере­ менных, подлежащих исследованию, и облегчается задача экспе­ риментатора.

Метод теории подобия заключается в том, что из всего класса явлений, определяемых общими уравнениями, выделяется группа явлений, для которых все переменные, входящие в уравнения, подобны.

Рассматривая возможность существования такой груп­ пы при тождественности определяющих уравнений, можно опре­ делить условия, необходимые для существования полного подобия явлений, и выявить зависимости между критериями, подлежащие

экспериментальному исследованию.

1&

3. Геометрическое подобие

Возьмем прямоугольную систему координат. Все координаты этой системы умножим на постоянный множитель Cz. Каждой точке в первой системе с координатами х, у, z будет соответство­ вать во второй системе точка с координатами х' = Ctx, у' — Cty и г' = С z. Эти две точки будем называть сходственными. Про­ веденное преобразование называется подобным. . Величину С; будем называть множителем, или коэффициентом, подобного

преобразования. При переходе от первой ко второй системе он равен Cv При обратном переходе он будет равен 1/Q.

Возьмем какую-нибудь прямую в системе 1. В системе 2 по­ строим геометрическое место сходственных точек этой прямой.

По данным аналитической геометрии нетрудно доказать, что это

геометрическое место также будет прямой. Обе прямые в систе­ мах 1 и 2 будем называть сходственными прямыми. Направле­

ния, представляемые этими прямыми, будем называть сходствен­ ными направлениями. Легко показать, что углы между сходствен­

где I' и I — расстояния между сходственными точками во второй

и первой системах.

Отрезки I' и I будем называть сходственными отрезками.

где dx' и dx — сходственные бесконечно1 малые отрезки во второй и первой системах.

Возьмем какую-нибудь кривую в первой системе. Для каждой

точки этой кривой возьмем сходственные точки во второй системе.

Геометрическое место этих точек даст кривую, сходственную кривой первой системы. Элементарные отрезки этих кривых свя­ заны соотношением (15). Интегрируя его вдоль всей кривой,

найдем, что длины кривых в обеих системах связаны равен­ ством (14).

Возьмем теперь какую-нибудь поверхность в системе 1. Гео­ метрическое место точек в системе 2, сходственных точкам первой поверхности, определит в этой системе поверхность, сходственную первой. Возьмем по четыре сходственных точки в каждой системе и будем стягивать их так, чтобы они образовали в пределе беско­

нечно малые прямоугольники. Величины поверхностей этих пря-

16

первой системах.

Понятие сходственного объема во второй системе можно опре­ делить или как геометрическое место сходственных точек какогонибудь объема первой системы, или как объем, ограниченный одинаковыми сходственными поверхностями с объемом первой системы. На основании соображений аналогичных тем, которые привели к формуле (17), получим:

место точек, сходственных системе А, определит после преобразо­ вания систему А', которую будем называть подобной первой с

множителем подобного преобразования Cz. Равным образом первая система будет подобна второй с множителем преобразо­ вания 1/CZ. Изменяя множитель подобного преобразования Cz,

можно получать все новые и новые подобные системы. Каждому значению Ct будет соответствовать своя подобная система. Бес­

конечному множеству значений множителя Cz будет соответство­

вать бесконечное множество подобных систем. Это множество вместе с тем и исчерпывает всевозможные подобные системы.

Множитель Cz называют также константой подобия, или коэф­

фициентом подобия.

Возьмем несколько подобных систем и выделим в них по два

Из системы уравнений (20) получаем

ния, то величины всех сходственных размеров в подобных систе­ мах будут выражаться одними и теми же значениями. Соотноше­ ния, аналогичные соотношениям (21), можно также получить для сходственных поверхностей и объемов.

4. Подобие полей скалярных величин

Возьмем совокупность геометрически подобных систем и пусть

каждая из этих систем характеризуется полем какой-нибудь ска­ лярной величины q. Если отношения q во всех сходственных точ­

ках первой и второй систем одинаковы, то мы говорим, что поля величин q подобны. Взяв тогда какую-нибудь систему за исход­

поля величин q. Он одинаков для всех пар сходственных точек двух подобных систем. Давая множителю Cq всевозможные зна­ чения, получим бесконечное множество подобных полей величин q.

Возьмем несколько произвольных геометрически подобных систем с подобными полями величины q и выделим в них по две

Уравнения (24) показывают, что если за масштаб для изме­ рения скалярной величины принять ее значения в группе сходст­ венных точек подобных систем, то поля скалярной величины,

18