Файл: Митропольский А.К. Лекции по дифференциальному исчислению.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.04.2024
Просмотров: 83
Скачиваний: 0
§ 2*] |
Теорема Ролля |
109 |
|
§ 2 *. ТЕОРЕМА РОЛЛЯ |
|
Теор ема |
Ролля. Если функция f(x) |
непрерывна в |
промежутке (а, Ь), дифференцируема в каждой точке внутри этого промежутка и имеет равные значения на кон
цах этого промежутка, то внутри промежутка существует, по крайней мере, одно такое значение х, при котором производ
ная обращается в нуль.
Следовательно, если
f(a)=f(b)
и если в каждой точке внутри промежутка (а, Ь) имеется производная f'(x), то существует такое значение х=с, лежа щее между а и Ь, что
f'(c) = O.
Черт. 73 Черт. 74 Черт. 75
Непрерывная функция f(x) с равными значениями на кон цах промежутка (а, Ь) может внутри этого промежутка или сохранять одно и то же значение (черт. 73), или колебаться в нем (черт. 74, 75).
Обозначим наименьшее и наибольшее значения, которых достигает непрерывная функция f(x) в промежутке (а, Ь), соответственно через т и М, так что
/и < f(x) < М.
Вообще т<^М. Но если бы оказалось, что наименьшее и наибольшее значения одинаковы, т. е.
т = М,
то отсюда следовало бы, что функция на всем рассматривае мом промежутке сохраняет постоянное значение, равное т или At т. е. при всяком х
f(x) — т = М.
Но так как производная постоянной равна нулю, то мы приходим к выводу, что в рассматриваемом частном случае
во всякой точке внутри промежутка производная будет равна нулю.
110 Основные теоремы дифференциального исчисления [гл. VII
Перейдем теперь к рассмотрению общего случая, т. е. по
ложим, что
m <С М.
Так как значения функции на концах промежутка по усло
вию равны, т. е.
f(a) =f(b),
то, по крайней мере, одно из чисел m или М отличноот этого общего значения на концах.
Положим, например, что таким значением будет М, т. е. в точке х=с внутри промежутка (а, Ь) имеется наибольшее значение функции (черт. 74). Тогда по теореме Ферма полу
чим
f'(c) = O,
что и доказывает теорему Ролля.
Это положение вполне очевидно. Действительно, в силу
того, что на концах промежутка, т. е. в точках а и Ь, f(a) = f(b),
мы заключаем, что, по мере возрастания х от а до Ь, функ ция f(x) не может постоянно возрастать или постоянно убы
вать. Следовательно, по крайней мере при одном значении
х между а и Ь, функция f(x) должна перейти от возрастания
кубыванию, т. е. достигнуть максимума, или же от убывания
квозрастанию, т. е. достигнуть минимума. А при таком зна чении х = с согласно теореме Ферма
f'(c) = 0.
В частном случае, если f(a)=f(b)=Q,
т. е. на концах промежутка функция f(x) обращается в нуль, можно теорему Ролля изложить кратко следующим образом: между двумя корнями функции заключается по крайней мере один корень первой производной. Поэтому теорему Ролля называют также теоремой о корнях производной.
Рассмотрим, например, функцию
f(x) — х2— 10%+ 16.
Ее производная равна
f'(x) = 2х— 10.
Теорема Лагранжа |
111 |
Корни функции равны xt — Ц- 2, х2 = +8. В этих точках гра фик функции пересекает ось абсцисс. Корень производной равен х = 4-5; в этой точке график производной пересекает ось абсцисс (черт. 76).
Геометрическое значение теоремы |
Ролля ■ состоит в |
сле |
|
дующем. По условию f(a) = f(b), т. е. |
ординаты кривой у — |
||
= f(x), соответствующие |
концам промежутка, равны, |
и в |
|
каждой точке 1внутри этого |
промежутка существует производ |
ная, т. е. кривая имеет определенную касательную. Теорема Ролля утверждает, что' при этом внутри промежутка будет существовать по крайней мере одна такая точка, в которой производная будет равна нулю, т. е. в которой касательная будет параллельна оси ОХ (черт. 77).
Черт. 76
Действительно, предполагая, что f(x) изменяется непре рывно при изменении х от а до Ь, мы можем эту функцию представить непрерывной кривой, касательная которой непре рывно поворачивается. В таком случае, по крайней мере при
одном значении х — с, лежащем между а и Ь, касательная будет параллельна оси ОХ, т. е. тангенс угла наклона каса тельной, равный f'(x), обращается в нуль.
В промежутке (а, Ь) первая производная может обра щаться в нуль не один, а несколько раз (черт. 78). Отсюда следует, что теореме Ролля можно дать такую геометриче
скую форму: у всякой дуги существует по крайней мере одна касательная, параллельная хорде, стягивающей дугу.
Заметим, что если не будет выполнено условие теоремы
Ролля о существовании производной f'(x) во всех точках
внутри промежутка, то теорема может оказаться неверной.
§ 3*. ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА
Теорема Ролля дает некоторое указание на свойство зна чений производной, а именно: она утверждает, что в том случае, когда значения функции равны на концах промежут
112 |
Основные теоремы дифференциального исчисления |
[гл. |
VII |
|
ка, |
то имеется внутри промежутка такое значение х — с, |
что |
||
|
— Теоремы Лагранжа |
и Коши не требуют ограничи |
||
тельного условия теоремы Ролля, чтобы было |
|
|
||
|
f(a)=f(b). |
|
|
|
|
Теорема Лагранжа. |
Если функция f(x) |
непрерыв |
на в промежутке (а, Ь) и дифференцируема в каждой точке внутри этого промежутка, то разность между значениями функции на концах промежутка равна длине промежутка, умноженной на значение производной в некоторой внутрен
ней точке промежутка.
Другими словами, при условии, что непрерывная функция имеет производную в каж дой точке внутри промежут ка (а, Ь), всегда имеет ме сто равенство
|
f(b)—f(a) = (b — a)f'(c), |
|
где с — число, заключенное |
|
между а и Ь. |
|
В этой теореме, как ука |
|
зано выше, условие теоремы |
Черт. 78 |
Ролля, что |
|
1(a) =f(b) |
может быть не выполнено. Поэтому для доказательства тео ремы составим при помощи данной функции f(x) новую функцию
F(x)=f(x) + \х,
где % —постоянная, которую определим так, чтобы новая функция F(x) удовлетворяла условию теоремы Ролля, т. е.,
чтобы значения этой функции на концах промежутка были равны:
F(a) = F(b),
или
f(a) -irXa = f(b)
Отсюда находим
ftb)-f(a) b — а
Теперь мы можем применить к функции F(x) теорему
Ролля, т. е. можем утверждать, что между а и b будет нахо диться такое значение х = с, при котором
F'(c) = f'(c) + % = О
S 3*] Теорема Лагранжа 113
Из этого равенства находим
Г(с) = -К
или, подставляя значение X, найденное выше, имеем
= |
(9) |
Таким образом, если функция f(x) непрерывна в проме жутке (а, Ь) и дифференцируема в каждой точке внутри этого промежутка, то по крайней мере в одной точке этого проме жутка производная совпадает с отношением приращения функции к приращению независимой переменной.
Равенство (9) можно. переписать так:
f(b)-f(a) = (b-a)f'(c). |
(10) |
|
Таким образом, теорема Лагранжа доказана. |
значение |
|
Найденное равенство, имеющее |
очень важное |
|
в анализе, называется формулой |
Лагранжа. |
Формуле Лагранжа можно придать иной вид.
Так как значение с находится между а и Ь, то отношение
заключается между нулем и единицей. Из (11) |
имеем |
|
с = а$ (Ь — а) |
(0<6<1). |
(12) |
Подставляя это выражение в (10), мы получим формулу |
||
Лагранжа в виде: |
|
|
f(b) - f(a) — (b — a)f'[a + 0(7> - a)] |
|
|
(0< 0<1). |
|
Так как здесь а и b — произвольно взятые величины, то,
разумея под х и h какие угодно значения, мы можем поло жить
а = х, b = x-\-h.
Тогда формула Лагранжа получит наиболее простой вид:
f(x-\-h)—f(x) = hf'(x + 0/z) |
(13) |
(0 < 0 < 1). |
|
В левой части зтого равенства стоит приращение |
функ |
ции; поэтому формула Лагранжа называется также форму лой конечных приращений. Эта формула показы-
8