Файл: Гришин Е.П. Основы теории дискретных систем с цифровыми управляющими машинами [учебное пособие].pdf

- T

T~+ с о

В системах управления оружием дискретные случай­ ные процессы часто получаются из непрерывных случайных процессов выборкой дискретных значений в моменты вре^., мени t=LT. Так, например, координаты цели, определя­ емые с помощью радиолокатора, подаются в систему управ­ ления оружием дискретно, хотя в действительности они изменяются во времени непрерывно. Поэтому представляет интерес установить связь между корреляционными функция­ ми дискретного и соответствующего ему непрерывного про­ цесса. Из сравнения (3 .2) и (3 .4) можно заключить, что корреляционная функция дискретного случайного процесса представляет собою дискретные значения корреляционной функции соответствующего непрерывного процесса, взятые через период дискретности Т (рис.3 .2 ):

91

I . Значение корреляционной функции Кх(тТ)щиип=0

является наибольшим и равно дисперсии дискретного слу­ чайного процесса:

геризующей зависимость между ординатами одного и того же дискретного случайного процесса, вводится в рассмот­ рение и корреляционная функция связи Кх^(шТ) , кото­

рая характеризует связь случайных процессов х(сТ) и у(СТ) • Для стационарных дискретных случайных процес­ сов корреляционная функция связи определяется следующим образом:

92

*jr-~oon'-*

=a:(tTJ y fc T + rn T J.

Формула (3 .9 ) аналогична формуле, определяющем кор­ реляционную функцию связи для непрерывных стационарных

случайных процессов,

т

(3.IO )

От-* 60 - 7*

На основании определения функции /Г (тТ ) можно за-

т .е . корреляционная функция связи, в отличие от корреля­ ционной функции K^(m T)t является несимметрично*. Ес­

ли дискретные процессы x fiT j и ^ (tT jявляются статисти­

чески независимыми, то корреляционная функция связи

И( т Т ) равна нулю.

Другой важной характеристикой дискретных случайных процессов является спектральная плотность.

Дл я непрерывного случайного процесса спектральная плотность может быть найдена по корреляционной функции этого процесса с помощью прямого преобразования Фурье

- С О

93

- с о

По аналогии с формулой (3 .12) спектральная плот­ ность дискретного случайного процесса определяется вы­ ражением [ l]

Спектральная плотность связи дискретных случайных процессов определяется выражением

лах).

Спектральная плотность дискретного процесса может быть найдена по Z - преобразованию от корреляционной функции этого процесса с помощью формулы

94

ральную плотность соответствующего дискретного процесса.

- /

Используя (3 .1 6 ), получим

-у

iaf - dT L1

Корреляционная функция дискретного случайного про­

цесса K jfaT) мояет быть найдена по спектральной плот­

95

Т 9 ¥= t- 2 Т и т .д . Другим методом нахождения

может служить использование формулы

обращения

где интегрирование производится по граничному контуру областиг внутри которой подынтегральная функция

является регулярной, С примерами вычисления корреляцион­ ных функций дискретных случайных процессов читатель мо­ жет познакомиться в [ l] ,

§ 2 . Прохождение случайного сигнала через дискретную систему

В настоящем параграфе будут рассмотрены вопросы прохождения случайных сигналов только через импульсные линейные системы.

Выясним, является ли стационарным сигнал на выходе импульсной системы, если на ее вход подается стационар­ ный случайный сигнал.

Если выходной сигнал импульсной системы является дискретным, то для его определения можно воспользоваться формулой, аналогичной формуле свертки для непрерывных систем:

(3. I 8)

п=о

96

где tj(n T ) - импульсная переходная функция системы;

?(*T-nTj - входной сигнал.

Подставим выражение (3.18) в формулу для корреля­ ционной функции (3 .2 ):

(3.19)

Выражение^

~ Т L ^СТ-пТЩсТ-пТ+тТ)=К (iT-пТ сТ-пТ+ тТ)

представляет собою корреляционную функцию входного сиг­ нала ^(СТ) t в которой значения ординат рассматриваются

в моменты времени LT-nT и LT-njT+mT . Поскольку

входной сигнал является стационарным, то корреляционная функция не зависит от текущего времени LT , а зависит лишь от разности рассматриваемых моментов времени. Сле­ довательно,

K^LT-rf LТ-п Т+mТ)= К (m Т-п, Т+пTJ

и корреляционая функция выходного сигнала связана с кор­ реляционной функцией входного сигнала соотношением

СО С'О

К (m T )-E i* (n rj£ itfn T )K (mT-^T*nTJ, (3 .20) -X п"О п=о <7

97

7

г .е . корреляционная функция на выходе дискретной систем мы не зависит от текущего времени LT . Отсюда следует^ что если на вход импульсной системы подается стационар^ ный случайный дискретный сигнал, то выходной сигнал в дискретные моменты времени также будет стационарным слу­ чайным процессом.

Если на выходе импульсной системы сигнал является непрерывным, то он не будет являться стационарным слу­ чайным процессом при действии на входе стационарного случайного сигнала p(cTj . Корреляционная функция не­ прерывного случайного процесса на выходе импульсной сис­ темы определяется выражением

N

^тТ,еТ,%Т)-11п— ^ х{1Щ т) я ( а - т т ^ Т). (3 .21)

а/-* со

Если в эту формулу подставить выражения для выход­ ного сигнала, аналогичные выражению (3 .1 8 ), то корреля­ ционная функция К (mTt 6T}&^r) будет зависеть не толь­

ко от разности рассматриваемых ординат выходного сигна­

ла, но также и от ^ 7 и 8gT . Следовательно, непрерыв­

ный случайный процесс на выходе импульсной системы бу­ дет нестационарным, если даже на входе действует ста­ ционарный дискретный случайный сигнал. Это объясняется тем, что внутри интервалов дискретности импульсная сис­ тема изменяет свои параметры с изменением локального времени 6 Т , т .е . ведет себя как нестационарная сис­ тема.

Однако если рассматривать сигнал на выходе импульс­ ной системы в моменты времени t=iT*GT при фиксирован­ ном значениии & , то такой дискретный случайный про­

98

получить следующее выражение, определяющее зависимость между спектральными плотностями входного и выходного сигналов:

(3 -гг)

Формула (3.22) позволяет определять спектральную плотность выходного сигнала импульсной системы при дис­ кретном выходном сигнале.

Спектральная плотность выходного сигнала импульс­ ной системы при непрерывном выходе в общем случае опре­

ме а. ) является признаком кестационарности выходного сигнала.

При & - 6 s Gi получается формула, аналогичная

(3 .22);

SJ*,e,G)-l<p(x,G)fsy(i). <з.й)

Рассмотрим далее вопрос о расчете ошибок на выходе импульсной системы при случайных воздействиях. Пусть на вход импульсной системы поступают полезный сигнал m (t)

и помеха n (tj , представляющие собою статистически незави­ симые стационарные случайные процессы (ри с .3 .3 ). Пусть

99