Файл: Гришин Е.П. Основы теории дискретных систем с цифровыми управляющими машинами [учебное пособие].pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 04.04.2024

Просмотров: 74

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

ного сигнала сс^(СТ) будет иметь ступенчатую форму.

Если в некоторый дискретный момент времени СТ входной сигнал квантователя х(СТ) соответствует ординате аё fто

выходной сигнал квантователя х.0(LT) будет определяться

ординатой ас

г

ъс , пред­

. Разность этих ординат, равная

ставляет собою ошибку квантования

 

 

& 3 C y ( L T ) ~ 3 C y ( i T ) - x ( i T ) .

(3.42)

Огибающая ошибки квантования (кривая рис.3.7^)имеет форму, близкую к пилообразной. При большом

количестве шагов квантования (когда величина ^ мала по сравнению с пределами изменения квантуемого сигнала) ошибка AOCy(t) может быть представлена в виде пило­

образной кривой, образованной отрезками прямых линий с различными наклонами, ограниченной снизу и сверху вели­

чиной . Исключение представляют лишь те участки,

внутри которых x (t) достигает экстремального значения. Уравнение, определяющее типичный линейный участок

ошибки & x (t J , может быть записано в виде

A X ^ (t)= m t,

(3.43)

где коэффициент m равен тангенсу угла наклона аппрокси­ мирующей прямой. Поскольку

— j

(3.44)

2

то интервал времени, соответствующий рассматриваемому участку прямой, будет

±

(3 . 4 5 )

2 т

 

НО

Среднеквадратическая ошибка квантования определяет­

ся выражением

А

2

 

2 т

2

i

 

 

/

(mt)dt=—

(3 .46)

G 'О

=

J

 

Из (3 .46)

 

2т

 

 

г

следует, что

дисперсия влх численно

равна дисперсии случайной величины, распределенной по закону равной вероятности с параметром

При малом шаге квантования ^

ошибка квантования

может рассматриваться как

белый шум [ъ] , уровень

которого определяется соотношением СЗ.46)• Поэтому не­ линейный элемент НЗ (рис.3 .5 ,а ), учитывающий квантова­ ние информации по амплитуде в Н/Д-преобразователе,может быть представлен в виде сумматора (ри с.3 .5 ,б ), на котоцый наряду с величиной эс(сТ)подается дискретный белый

шум п (сТ) . Получающийся в результате такой замены

Г

сигнал

х(LT)=jc(LТ) +n^(iТ)

не равен сигналу х^(сТ) , но имеет такие же вероятност­

ные характеристики, как JCgfiTj.

Рассмотрим далее вопрос о влиянии ошибки квантова­

ния AOCyfiT) на точность системы с управляющей ЦВМ. Счи­

тая,

что

сигнал tin(iTh . имитирующий "шум" квантования,

является

помехой, вызывающей появление ошибки

на

вы­

ходе

системы,

выражение для спектральной плотности

ошиб­

ки

 

можно

записать в виде

 

 

I I I

(3 .4 7 )

/Ф & 1

Ввыражении (3.47) Sn^(a)%сть спектральная плотность

дискретного случайного процесса, соответствующая диск­ ретному белому шуму; ф (я) - передаточная функция замк­

нутой дискретной системы, включающей ЦВМ и объект регу­ лирования. Поскольку передаточная функция ф(зь) записана для дискретных моментов времени, спектральная плотность

S (а)

также характеризует ошибку Cq(l T) в дискрет­

но1 7

“

ные моменты времени О, Т >2Тt3T и т .д . Корреляционная функция ошибки на выходе системы за счет квантования сиг­

нала определяется по формуле

обращения

Кеп (л Т )"

Щ

^

 

(3.48)

 

 

*

J /Л/* У

 

 

Полагая

в

(3 .48)

/ 1 = 0 ,

выражение для дисперсии

ошибки можно получить

в следующем виде:

(3 .49)

/«г/»/

Для определения дисперсии 6 нам необходимо по-

Ч

лучить выражение для спектральной плотности белого шума

Sno(3l). Спектральная плотность дискретного случайного

г

процесса связана с корреляционной функцией этого процес­ са двусторонним Z - преобразованием:

3-” eJUT

112

В случае если дискретный случайный процесс пред­ ставляет собою дискретный белый шум, корреляционная функция имеет вщ [1]

 

 

 

K

^

T) ’ Kn 4 °)i(> 'TL

(3 .51)

 

 

 

 

где

К

(о)= 6*

-

дисперсия белого шума;

 

 

Л и ' '

п о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- обобщенная дельта-функция, опреде­

 

 

 

 

 

ляемая

соотношением

 

 

 

 

 

 

I

при

п = О.

(3 .52)

 

 

 

 

 

О

при

/г* О.

 

 

 

 

 

 

 

Поскольку дисперсия белого шума, значение которой

определяется выбранным шагом квантования ^ ,

нам извест­

на,

то

спектральная

плотность

может

быть найде­

на

по Z

- преобразованию от корреляционной функции

К

(пТ)

* ^ля

этого воспользуемся формулой, выражаю-

щей двустороннее

z

- преобразование функции через ее

обычное 2

- преобразование,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

к „ 9 ( о ) .

( з . 5 з )

 

В

формуле (3.53)

 

 

 

есть обычное Z - преобразование от корреляционной функции Кп^(пТ) , а K ^ St*) получается из (3 .54) заменой

8

И З

х на а Учитывая, что в (3.54) для дискретного слу­

чайного процесса типа белого шума все ординаты корреля­

ционной функции при п * 0 обращаются в нуль (К (Т}=0,

Г

К(2Т)ж0 и т .д .) , для спектральной плотности S у (х)

получаем простое выражение

о г

 

 

 

 

•

 

( 3 - 5 5

Спектральная плотность

Sny(z) в данном

частном

слу­

чае является

постоянной величиной, не зависящей от пере­

менной

х ,

однако указание

на

зависимость

от аргумен­

та Z

в (3.55) сохранено, чтобы

подчеркнуть,

что мы

име­

ем дело со спектральной плотностью дискретного, а не не­

прерывного

случайного процесса.

Подставляя найденное значение (3.55) спектральной

плотности S

(я) в (3 .49), дисперсию ошибки на выходе

у

системы можно определить с помощью выражения

 

г

% f 2 X j Ф / 4 2

(3.56)

* d X '

1X1=1

 

Вычисление интеграла в (3.5б) производится перехо­ дом к W- - преобразованию, как это показано в предыду­ щем параграфе данной главы.

Глава I У. ОСНОВЫ СИНТЕЗА ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ С

УПРАВЛЯЮЩИМИ ЦВМ

§ I . Постановка и о б и т методика решения валами синтеза

При решении задачи синтеза автоматических систем с управляющими ЦВМ возможны различные случаи, определяю­ щиеся характером исходных данных и той целью, которая должна быть достигнута при синтезе конкретной системы. Наиболее характерными можно считать следующие случаи.

I . В процессе проектирования имеется полная свобо­ да выбора как структуры, так и параметров синтезируемой системы; единственным ограничением является только тре­ бование физической реализуемости системы.

? . Некоторые из требований заранее предопределяют структурные особенности синтезируемой системы*^; других ограничений при синтезе не накладывается.

3. Некоторая часть структуры (объект регулирована и некоторые параметры системы являютоя заданными.

Вся структура системы и некоторые параметры сис темы являются заданными.

# /в качестте

примера можно указать требование

по точ­

ности работы

системы при медленно меняющихся

воздей­

ствиях. В этом случае система должна обладать астатиз мом определенного порядка, т .е . иметь в своей струк­ туре необходимое число интегрирующих звеньев.

115

В практике проектирования систем управления оружи­ ем наиболее часто встречаются третий и четвертый случаи. Так,('например, при решении задачи синтеза системы ориен­ тации гиростабилизатора (ГС) с управляющей ЦВМ мы имеем дело с третьим случаем, поскольку параметры объекта ре­ гулирования (гмростабилизатора) нам заданы и не могут быть изменены. Это объясняется тем, что параметры ГС должны выбираться, исходя из обеспечения требования вы­ сокой точности при его работе в режиме стабилизации по­ лета летательного аппарата, соответствующем основному назначению ГС.

Рассмотрим один из возможных вариантов решения за­ дачи частичного синтеза дискретной системы с управляю­ щей ЦВМ. При решении эюй задачи будем считать заданны­ ми: передаточную функцию объекта регулирования, период дискретности Т и допустимое время запаздыванияТ (в пределах периода дискретности).

Необходимость решения задачи синтеза при заданных значениях Т и *Г определяется тем, что обычно на ЦВМ возлагается решение множества задач; поэтому эти пара­ метры определяются загруженностью ЦВМ и ее быстродей­ ствием.

Задачу синтеза сформулируем следующим образом. Требуется определить вид передаточной функции £)(я) р е а ­ лизуемой выбором программы вычислений в ЦВМ, таким обра­ зом, чтобы обеспечивать следующие требования:

- система не должна иметь установившейся ошибки при действии на ее входе детерминированного сигнала опреде­ ленного вида (ступенчатый сигнал, линейно нарастающий

сигнал

и д р .);

-

система должна обеспечивать желаемое качество

переходного процесса при действии на ее входе ступенча-

Н б

того сигнала.

Требования по качеству переходного процесса могут задаваться в виде максимально допустимой величины пере­ регулирования или допустимой величины ошибки по истече­ нии заданного времени регулирования Тре& .

Методика коррекции систем с помощью дискретных филь­ тров изложена в работах [ 1\ 5] . Приведем основные по­ ложения методики синтеза дискретных фильтров. Согласно этой методике передаточная функция дискретного корректи­ рующего фильтра получается в результате выбора желаемо­ го вида передаточной функции системы в замкнутом 'состоя­

нии ф($) и передаточной функции по ошибке ф(г) :

Ф

Ы

- 0 :

'

<«>

 

 

 

 

(4 .2 )

В формулах

(4 .1 )

и (4 .2 ) X (a .)iG (a .) И

 

представ­

ляют собою ^ - преобразования от соответствующих функ­ ций оригиналов - выходного сигнала X .(i) , входного сиг­ нала fy(i-T) и сигнала ошибки £(l TJ*

Передаточная функция замкнутой системы ф(<3.)

и

передаточная функция по ошибке ф fa .) выбираются в сле­

дующем виде:

(4 .3)

117

 

У

(4 .4 )

 

fi-cC X '1J n

 

где F(sl)1 и

F j z 1) - полиномы относительно

sl 1

вида,

 

 

F}(z )=1+а sl *+аея. *+■ - +aKz *;

(4 .5)

f^fa. *J=

о* Sfz 1* t>2a. г+-- * tgz .

(4 .6)

Необходимо пояснить, чем обусловлен выбор переда­

точных функций ф ( Л) и ф{3.) в виде (4 .3 ) и (4 .4 ) . Для

того чтобы установившаяся ошибка системы при определен­ ных детерминированных входных сигналах (единичный ска­ чок, линейно нарастающая функция и др .) была равна нулю,

необходимо, чтобы ф (з.) имела бы в точке Z »1 нуль

определенного порядка. В частности, для обеспечения ас-

татизма

второго

порядка функция ф (а ] должна содержать

в точке

z = I

нуль второго порядка ( т .е . Z = 2 ) .

Справедливость сказанного удобно проверить на при­ мере непрерывной системы. Если объект регулирования име­

ет передаточную''функцию 1д/ (S) S~£T » то эт0 означает,что

в замкнутом состоянии непрерывная система будет обладать астатизмом первого порядка. Передаточная функция по ошиб­

ке такой системы имеет множителем переменную s Г

к

s

(4 .7)

$+к

118

Если на входе системы действует единичный ступенчатый сигнал, то по теореме о конечном значении оригинала сиг­ нал ошибки €{Ь) будет равен нулю»

Eim 6(t)= Pim 5 ! ---------— -J-O.

( 4. 8)

t-* GO

S~~О

 

Аналогично этому для дискретной системы справедли­ во следующее утверждение. Если дискретная система обла­ дает астатизмом первого порядка, то передаточная функ­ ция такой системы в разомкнутом состоянии имеет в знаме­ нателе множитель, si - I , а передаточная функция по ошибке

Ф£(*) = 4~Ф (*)

( 4. 9) '

имеет множитель 2 - I в числителе.По теореме о конеч­ ном значении для дискретной системы

&т

—J-J

( 4. 10)

i~*oa

?■»/

 

можно убедиться, что установившееся значение сигнала ошибки C^iTj также будет равно нулю. Следовательно,на­

личие множителя ( Я. -I

) в числителе передаточной функ­

ции ф ^3.J обеспечивает

в

системе астатнэм Ъ -го

по­

рядка.

т

в выражении для ф (& )

 

Показатель степени

выби­

рается с учетом обеспечения физической реализуемости сис­ темы. По условиям физической реализуемости корректирую­

щего фильтра

запаздывание, которым обладает сиито-

зируемая система,

не может быть меньше запаздывания,ко­

торое заложено в

неизменяемой части системы

•

119

Смотрите также файлы