Файл: Гришин Е.П. Основы теории дискретных систем с цифровыми управляющими машинами [учебное пособие].pdf

Скачать файл (4,79Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 04.04.2024

Просмотров: 77

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

и т.д

§	3 . Устойчивость импульсных систем
Устойчивость импульсных систем, так же как и		для
непрерывных	систем, является необходимым условием	их
работы.
Импульсная система является устойчивой, если		с те

чением времени переходные процессы в ней затухают. Ес ли в начальны» момент времени выходная величина импуль

сной системы	x (t)	имела некоторое значение x(o)t		то
для устойчивой системы должно выполняться условие
	йлгэс(сТ+6Т)= О		(2.55)
	^	со
Если хотя бы для одного значения			, лежащего	в
пределах от	нуля до	единицы,

(Urn x(LT+6T) = 0/0}	(2.56)
L —* о=з

то система является неустойчивой. Если имеет место со отношение

бет x (l T+GT)= const	(2 .57)
С-* оо
или же предел выходной величины не существует,	то им

пульсная система находится на границе устойчивости. Сле

дует	отметить, что	указанные выше условия		(2 .5 5 ), (2.56)
и (2	.57) справедливы только		для линейных	систем.
	В большинстве	случаев	поведение импульсной системы

(с точки зрения ее устойчивости) полностью определяется ее поведением в дискретные моменты времени; поэтому ес-

ЛИ	л		_
	Сет x (l TJ= О,
то, как	L —*• со		(2 .5 5 ).	В тех
то, как	правило, выполняется и условие		(2 .5 5 ).	В тех
случаях,	когда ILmx(LT)* О ,	а при	Q= О справедливо
	с = со
любое из	соотношений (2.56) или	(2 .5 7 ), то это		означает,

что мы имеем дело с явлением колебательной неустойчиво сти. (В [ъ] к [7] ее называют соответственно высоко частотной или скрытой неустойчивостью).

Для того чтобы импульсная система была устойчива, необходимо, чтобы все корни характеристического полино ма LfstJ $ представляющего собою знаменатель передаточ

ной функции замкнутой системы <р(&,6) , лежали бы вну

три круга единичного радиуса с центром в начале коорди

нат плоскости	z .
Если хотя	бы один вещественный полюс (или пара
5	65

комплексшмсопряженных полюсов) передаточной функции


замкнутой		импульсной системы находится		вне единичного
круга, то		система является неустойчивой. Если хотя бы
один	из полюсов находится		на окружности	/ х / « I , то сис
тема	находится на границе		устойчивости.

Следовательно, исследование устойчивости импульсной системы сводится к выяснению расположения корней харак теристического полинома L(si) относительно единичной окружности, определяемой уравнением

/*/=• J-

Для определения устойчивости импульсной системы можно либо определить полюсы передаточной функции непосредственным решением уравнения

(2 *58)

либо воспользоваться одним из критериев устойчивости импульсных систем. Применительно к импульсным системам могут быть обобщены критерии устойчивости, используемые в теории непрерывных систем (Рауса-Гурвица, Михайлова, Найквиста),

Рассмотрим алгебраический критерий устойчивости

рмпульсных систем - критерий Шур-Кона f a ? /	• Этот
критерий дает возможность устанавливать факт	наличия

корней характеристического уравнения вне единичной ок ружности плоскости Z , Критерий Шур-Кона формулируется следующим образом.

Все корни характеристического уравнения L(a.) лежат внутри единичной окружности и система устойчива, если коэффициенты уравнения удовлетворяют условиям, при кото рых определители

л шсП для нечетных значений к ;

А > О		для четных значений к	,
к
( К = 1 ,2 ,3 ,,.., л	) .
Определители	А „	имеют <?/г рядов и 2к	столбцов и
	Л

составляются по следующему правилу.

1 . Сначала заполняется верхняя часть определителя. Выписываются в столбец все коэффициенты, начиная с 0.0 и кончая ап' / . Далее заполняется левая верхняя часть

определителя, содержащая к рядов и к столбцов, таким образом, чтобы диагональные члены были равны, а отсут ствующие члены заполняются нулями. После этого выписы ваются в первую строку члены, начиная с ал и кончая

О	, Заполняется правая часть определителя;	при
Л**
этом	диагональные члены должны быть равны, а отсут

ствующие члены заполняются нулями. В результате получа

ется верхняя часть определителя,	содержащая к столб
цов и 2к рядов.
2 . Нижняя часть определителя	заполняется комплек

сно-сопряженными значениями коэффициентов» Дописываются

в первый	столбец все члены, начиная	с	и кончая
^■ п-к+1	• Заполняется левая часть	определителя; члены

по диагонали долмны быть равны, недост*М|ще члены за.-

полняются нулями.	После	этого долисмваатея		в (+-) -ю
строку все члены,	начиная с		й0 и комчая а	, и ана
логично заполняется правая			часть определителя.
Определитель	А к	при использовании критерия Шур-
Кона имеет вид

а о

О •

о ! а п

а п - г " а п к ч

а <

•

	д =	а
	д =	К -1
		К -1

Аа

а п - <

П К *1

а	0				о	! 0
0
•	•		•	•	*	1 *
•	•	ф		» •		j •
а	а					1
а	а						0
к - г	к - з				а о \
	о					1
О			••			------	а с
О			••				а с
К	О	*		*	0	I 0
0	•	•		•	*		0
•	•	•	•		•	1	0
а	о	*	*	' а		!	0
л - к + г П.-К+3					п	«

а п	^ п ч " ап - н * а
*	т	• •	ф
•	•	* Ч »
0	О	а л
	О	а л
я,	(1 "	о .
я,	____ K - f
а »	0 .	• • 0. ft-г
•	ф	ф •	»
•	Ф 0 0 0
0	о ••		а .
	о ••		а .

(2.59)

В выражении (2 .59) 0-п есть комплексно-сопряженное

значение CLK • Если в характеристическом уравнении

L(&)	все коэффициенты действительные, то U = а ■
' *	ft

Если, например, характеристическое уравнение имеет третий порядок ( Л =3):

Ця.)= &37L+ аг 7L*CL^SL+ 0.о =• О,		2.60)
то определители Ак	составляется следующим о-Зразом.
I . При К =1 имеем а„ ,жйл . Q.		= С , .
r	К -/ О > П - K i- f	з •
поэтому
я ,	а л	(2.61)
V а .	а	(2.61)
V а .	а

2.	При	к -2	аК-1 = а1* ап
		а0	о		as	а2
	И	Ч	ао		О	ч			(2 .62)
	И					ч
		ч	0	ч		ч
		ч	ч	0		ч
3.	При	к =3		а* - г ч *
				а* - г ч *
		Ч	0	0	Ч	а г		ч
		ч	ао	О	0	Ч		ч
		аг	Ч	Ч	0	0		ч	(2 .63)
		ч	0	0	Ч	Ч		ч
		ч	Ч	0	0	а0		ч
		ч Ч Ч			0	0	ч
		ч Ч Ч					ч

Корни характеристического уравнения L(&) будут находиться внутри единичной окружности плоскости £ ,* дискретная система будет устойчива, если вычисленные значения определителей будут удовлетворять условию

Ч < о , &г >0г &3 < о .

Пример 2 .2 . Определить устойчивость замкнутой им пульсной системы,передаточная функция которой имеет вид

-0,23, +0,2i

3L-i82t.+0,81