Файл: Березкин А.М. Задачи по стрельбе и их решения учебное пособие.pdf

Если обстреливается поток из N воздушных целей, то случайной величиной X будет совокупность чисел

Х = (0; 1; 2; 3; .. . ; /V),

где числа

0; 1; 2; 3;... ;N

являются частными возможными значениями случайной ве­ личины X. Причем предугадать заранее, какое именно из них будет иметь место в каждой отдельной стрельбе, не пред­ ставляется возможным.

События

*о — 0; *i = l; *г = 2 ; ...; * N =•■ N

являются случайными. Следовательно, вероятность появле­ ния любого из них больше нуля и меньше единицы, т. е.

0 < Р(Х = *;) < 1.

Невозможными событиями будут

* < 0 и * > Л',

так как невозможно поразить меньше нуля и больше N це­ лей. Поэтому

Р(Х < 0) = Р(Х > Л') = 0.

Простое перечисление возможных значений случайной ве­ личины хотя и важно, но недостаточно для всестороннего изучения свойств случайной величины. Более полной ее ха­ рактеристикой является закон распределения. Под законом распределения понимается функция, устанавливающая зави­ симость между возможными значениями случайной величины и вероятностями их появленийЗакон распределения может быть задан таблицей, аналитически и графически.

Любая случайная величина должна быть рассмотрена как единственно возможное событие, вероятность появления ко­ торого равна единице. Это значит, что и сумма вероятностей появления всех возможных значений случайной величины

31

должна быть равна единице. Поэтому при осуществлении опыта над случайной величиной появление одного из ее воз­ можных значений обязательно будет иметь место. Необходи­ мо помнить, что все возможные значения случайной величи­ ны являются взаимоисключающими, т. е. они являются не­ совместными событиями.

Чем больше возможных значений входит в совокупность дискретной случайной величины, тем меньшая часть едини­ цы падает на долю каждого из них. Кроме того, единица мо­ жет быть поделена между ними по-разному, т. е. одни из этих возможных значений являются более вероятными, а дру­ гие — менее вероятными. Поэтому, говоря просто, закон распределения устанавливает способ деления единицы между компонентами случайной величины.

Если введем обозначения

Представляя X как единственно возможное событие, бу­ дем иметь

N

Р0.N "Ь -Pi.N + P2,N~h ••• + En,N = ^ j Pi,а — 1. i-i

•32

q.q-q- .. ■ -p = qx-i P-

Так как нам безразлично, какая именно цель будет пораже­ на, то данная вероятность будет иметь значение

или

В этих выражениях

i ■ ;-/ = N .

Задача 1.1. Обстреливается поток из четырех целей. Ве­ роятность поражения одной цели равна Р. Написать ряд рас­ пределения числа пораженных целей.

Ответ

Формулы (1.1) и (1.2) показывают, что закон распределе­ ния подобных случайных величин является биномиальным. Для примера возьмем еще случайную (величину числа попа­ даний осколков в уязвимый агрегат самолета. Пусть вероят­ ность попадания осколка в уязвимый агрегат равна р, а в самолет попадает шесть осколков. Напишем ряд распреде­ ления числа попавших в агрегат осколков и проанализиру­ ем этот ряд. Получим

34

В этом разложении имеем следующие значения вероят­ ностей:

ных (к) представляются в виде сумм соответствующих веро­ ятностей:

где P\>2,n— вероятность попадания хотя бы двух оскол­ ков (не менее двух осколков);

Р\. з,ы = 20 q3p3 + 15 qtpi + 6 qpb+ рй=

-1— (q« f Qqbp-'r 15 qY~),

где Pj>3 ,N — вероятность попадания хотя бы трех осколков (не менее трех осколков) и т. д.

Общая формула для этих вероятностей будет иметь сле­ дующий вид:

35

личины X имеет наибольшую вероятность. Такое возможное значение X называется наивероятнейшей комбинацией. На­ хождение такой комбинации, появление которой наиболее ве­ роятно по сравнению с любой другой комбинацией, во мно­ гих случаях представляет определенный интерес, так как на практике такая комбинация будет появляться чаще других.

Отыскание наивероятнейшей комбинации можно осущест­ вить с помощью составления ряда распределения биномиаль­ ного закона. Из ряда распределения можно выписать как наибольшую вероятность, так и саму комбинацию.

Задача ЫО. Найти наивероятнейшую комбинацию числа пораженных целей и ее вероятность при обстреле потока из четырех целей, если вероятность поражения каждой цели равна 0,7.

Ответ.

2.Ршах = 0,41 16.

3.Наивероятнейшей комбинацией является комбинация из трех пораженных и одной непораженной цели.

ни одного поражения в 81 стрельбе;

поражена только одна цель в 756 стрельбах;

поражены только две цели в 2646 стрельбах; поражены только три цели в 4116 стрельбах;

поражены все четыре цели в 2401 стрельбе-

37