Файл: Шелковников Ф.А. Сборник упражнений по операционному исчислению учебное пособие для студентов вузов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.04.2024
Просмотров: 128
Скачиваний: 4
Следовательно,
jf-l
|
|
|
ePjeP + 1)4 _ |
|
|
|
|
t=o |
( e P ~ 1)< ’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
ep (ep + 1) |
ep (ep — 1) + |
2,ep |
ep |
2ep |
|
(eP— l)* |
= |
(ep — l)i |
~ |
(eP— l)3 + |
(ep ~ l)4 |
|
л:<2> |
2x<3) |
|
— 1) ( 2jc— 1) |
|
|
2 |
+ 6 |
= |
6 |
|
x - \
х(лг— 1) (2x — 1)
6
Заменяя x—1 на n и t на k, получим нужный результат:
П |
П |
|
п ( п + 1)(2п + 1) |
|
£ * |
а = 2 |
*2= - |
||
6 |
||||
А=0 |
fc= l |
|||
|
||||
2) (С1+1У. |
|
|
|
|
У к а з а н и е . |
k3 = |
-f |
-ь k. |
|
3) т\ е д . |
|
|
|
|
4) 2П—1 — - у (Л2 + Зи + 4). |
|
|||
a n — 1 |
|
п |
|
|
5) |
|
ап (а — 1) ' |
||
а ”-1 (а — 1)2 |
||||
232
6)Р е ш е н и е . Рассмотрим сумму
|
|
|
е^Р (е-Р — 1) sin q |
t- О |
(ер — 1) (е2Р — 2ер cos q +- l )*2 |
||
|
|
|
|
ечр (eP _|_ |
i) sin q |
||
e?P — 2ep cos q + 1 |
|||
Так как (см., примеры 135 п. 7 и 8) |
|||
егр |
|
|
sin qx — х sin q cos q {x + 1) |
(e2P — 2ep cos q + |
1) |
' |
2 sin3 q |
e 2P |
|
|
cos g sin g x — x sin q cos qx |
(ePP— 2ep cosq + |
l)3 |
' |
2 sin3 q |
singer—.r sin q cos q { x + \) - \ - cos q sin q x — x sin qx cos qx
2 sin3 q
q (2x.+ 1)
sin qx -—2 x sin — cos
4 2
откуда искомая
4sin2•
‘2
|
|
|
(2n — 1) л: |
|
|
' sin nx |
|
tl cos • |
|
сумма |
|
|
|
|
- S (.r) = |
|
|
|
|
|
bx |
2 sin ■ |
|
|
|
4 sin2 • |
|
|
|
|
r (2n— l ) x ' |
|
|
|
|
n sin ------------------ |
1 — cos nx |
|
|
7) |
|
|
||
x |
2 (1 — cos>) |
|
||
|
|
|||
|
2 sin — |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
8) |
Р е ш е н и е . Пусть |
<?(p) |
(V 2 )* sin |
. Тогда |
|
|
|
t=о |
|
233
|
У |
2 sin |
— ё*Р |
еР |
|
9 (Р) = |
|
|
4 |
||
|
|
2 ер cos |
еР— 1 |
||
(еР— \)(ё>Р — 2 V |
|||||
+ 2 |
|||||
|
еР (еР — 2) |
еР |
|||
|
е^Р — 2 V 2 еР cos — + 2 |
^ — 1 |
|||
|
|
||||
|
|
|
4 |
|
|
|е 2-Р — 2 со s — |
j — ~V 2 sin — ер |
|
|||
|
|
|
|
1 —( j / ' 2 )*cos - j - + |
|
eiP _ |
2 У 2 еР cos -j - |
+ 2 |
|
||
+ ( ^ 2 |
)"* s,11 |
|
х-уг |
ъ ( х -ь i) |
|
~ ! — ( У 2 ) |
c o s -------------- |
||||
9)
10)
an+I sin л: — a sin (n + 1) x + sin nx an (a2— 2a cos л: + 1)
(1 — a cos jc) (1 — an cos nx) + an+1sin x-sin nx a2 — 2a cos x + 1
И ) ^ (я3 + 2я + 2) C®+2.
12)~g" (2и — 1) C4n+1.
13)(12я3— 25я + 22) C3n+l.
14)C7n+V
234
139. 1) Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Обозначим |
через |
Fk [х] й-кратную |
|
сумму и положим Fk ( р) -^>Fk [x\, и f (р) |
f[x]. Имеем, |
|||
используя изображение суммы: |
|
|
||
X—1 |
|
^ |
|
|
Fi м = |
? Л р ) = |
у( р) |
|
|
еР— 1 |
’ |
|||
<->о |
|
|||
|
|
|
||
ЛГ—1 |
% (р ) |
|
У (/>) |
|
|
|
|||
t=о |
е-Р — 1 |
(еР - I)2 ’ |
||
|
|
|
||
х-1 |
|
|
|
|
Fm+ 1 И = |
М <7- Гт4 1(Р) |
|
|
|
f=О |
У О ) |
|
еР |
|
: ^ у (р) |
|
(eP__l )m+i |
' |
' '■г , (вР _ 1)« +1 • t= 1 |
у (р)
( g / > — l ) m + l
( x — t) ( т )
т\
так как f [t — 1]= при t< 1.
Индекс суммирования t заменим через t+ 1. Тогда |
|
||||||
S |
( x — t)m |
ч д |
(x — t — l) (m) |
|
|
||
|
= |
— |
г г - 1 — |
/ и - |
|
||
|
|
|
m! |
|
|
||
<=i |
|
t =о |
|
|
|
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
||
, |
, ЧД { х - t |
— Щ х — t — 2) . |
. . ( x - t - m ) |
, rji |
|||
Л п +i M |
= |
--------------------------- |
|
IT---------------------------- |
|
|
Я*]- |
|
|
( = 0 |
|
m\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Обозначим |
через |
Fk [ x ]k - к |
||
ную сумму и положим. |
-Г*Fk [jc], а |
<р(/>) ->/[•*■]. |
Имеем, |
||||
используя |
изображение суммы: |
|
_ |
|
|
||
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<^У (Р) |
|
|
|
|
<=о |
|
е Р — 1 |
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
235
x |
FiW^ a(/,)= |
|
2<-0 |
|
|
|
e ^ t (P) |
|
|
|
— 1 |
Ftn + 1 W — |
Fm U] ^ r / m t i (/*) |
|
*=0
e2-Ptp ( p )
\eP — l)2 ’
_(m+l)p;У (l) (ep _ l)m+i ’
|
r(«) |
(e/> — ])m+i |
ж! |
e(m+l)p |
_ |
(ep _ l)m +i |
'P ^ ^ |
e("+1>/’ . (* + m)(m)
(eP — l)m+i
(x — t + m) (m)
• / m -
m\
(-0
|
Следовательно, |
|
|
|
x |
—£+ m—I).. . (л:—t ■{■ 1) |
|
|
( x — t + m ) ( x |
||
|
m+ 1 w = E |
m\ |
m - |
|
t~ о |
|
|
140. |
(n + m) (n + m — 1) (n + m — 2) . . . (n + |
1) я |
|
1) |
|
|
|
|
{ m + |
1 )! |
|
|
я (я -f- 1) (я + 2) (w -f 3) (2я 4-3) |
|
|
|
2) |
|
|
|
5! |
|
|
141. |
1) Р е ш е н и е . Пусть y(p) -7* yx . |
|
|
|
Согласно теореме упреждения и начальному условию |
||
|
Ух-п*теРу!{р)~ еР. |
|
|
|
Операторное уравнение, соответствующее данному уравне |
||
|
нию, будет |
|
|
|
еру ( Р ) — еР — З у ( р ) = — ------- |
. |
|
|
|
е? — а |
|
236
