Файл: Определенные и неопределенные интегралы учебное пособие для студентов Н. А. Фролов Министерство высшего и среднего специального образования РСФСР, Московский ордена Ленина энергетический институт. 1960- 4 Мб.pdf

А

где А и В указывают на то, что нижним и верхним пределами интеграла должны быть значения переменной, через которую будет выражен дифференциал длины дуги ds, в точках А и В.

Пусть кривая АВ задана в параметрической форме урав­ нениями

to

Пусть кривая АВ задана уравнением в полярных коорди­ натах

[а, ].

Чтобы найти длину кривой АВ, надо найти дифференциал длины дуги ds и воспользоваться формулой (Vх).

Сначала мы выразим данную кривую при помощи прямо­

100

и будут выражать кривую (2х) в параметрической форме. Из уравнений (2х) дифференцированием найдем:

dx == [/'(9) cos 6 — f\ 6) sin 6] d0, dy = [/x(0) sin S + f(6) cos 6] d8.

Возводя в квадрат обе части каждого из этих равенств и складывая, получим:

Так как формулу дифференциала длины дуги можно пред­

ставить в виде

ds=]/ p\^)’+1 d?'

то для длины кривой АВ получим еще одну формулу:

ь____ _____

101

Решение. Из уравнения цепной линии находим:

Поэтому

X X

УНУ2-^- (е^+е а).

Следовательно, по формуле (V)

s = -|J(e“+e

О

Пример 2. Вычислить длину окружности

x = rcost, y = rsint.

«я

Vт

=4rjdf=4rf — 2nr.

о0

102

Пример 3. Вычислить длину s кардиоиды

р =a(14~cos 6 ) (черт. 30).

Решение. Из уравнения кардиоиды находим

— =— a sin 0. dfl

Учитывая, что кривая симметрична относительно полярной оси, по формуле (VII) получим:

s = 2 я3 (l-f-cosfy’+^sin5 6 iZ9=

о

УПРАЖНЕНИЯ

47. Вычислить длину гипоциклоиды

3.33

х+у =а .

48.Вычислить длину одной дуги циклоиды

х = а (t — sin t), у = а(1— cos

49.Вычислить всю длину кривой

р— a sin’ — .

г3

5. Кривизна плоской кривой

Пусть к данной кривой можно провести касательную в каж­

дой точке дуги ММ' (черт. 31).

103

Предел средней кривизны дуги ММ' данной кривой, когда точка М' стремится по кривой к точке М, называется кривиз­ ной кривой в точке М.

Таким образом, обозначая кривизну кривой в точке М че­

рез К, имеем по определению:

As-».o As ds

Пример 1. Найти кривизну окружности радиуса /?.

Решение. Проведем в концах дуги ММ' данной окруж­ ности касательные МТ и М'Т' (черт. 32). Они перпендикуляр­ ны к радиусам ОМ и ОМ',. поэтому угол Аф между касатель­ ными МТ и М'Т' равен центральному углу МОМ', радианная

величина которого есть As где As — длина дуги ММ’.

Следовательно, угол поворота касательной к окружности, когда точка касания перемещается от М до М'., есть

As

~R

104

а средняя кривизна дуги ММ' равна

As

__~R___ i_

Таким образом, кривизна К окружности одна и та же во всех ее точках и равна величине, обратной радиусу R окруж­ ности:

Полученный результат служит подтверждением того, что понятие кривизны кривой определено вполне естественно и

согласуется с нашим интуитивным представлением кривизны:

чем меньше радиус окружности, тем более «искривленной» представляется нам дуга окружности.

Учитывая, что по характеру кривизны окружность являет­ ся наиболее простой кривой, принято другие кривые сравни­ вать с окружностью. С этой целью вводят понятие радиуса кривизны кривой.

Радиус окружности, кривизна которой равна кривизне дан­

ной кривой в некоторой ее точке, называется радиусом кривиз­ ны данной кривой в этой точке.

Из этого определения следует, что радиус кривизны R кри­ вой в данной точке есть величина, обратная кривизне К этой кривой в той же точке:

Не всегда можно легко вычислить кривизну, пользуясь не­

посредственно определением этого понятия. Для целей прак­

тики надо вывести формулы, выражающие кривизну кривой при различных способах задания кривой.

105

=dx_

1 + И' WP

Известно, что

в данной точке кривизна кривой будет положительной, если в этой точке вогнутость кривой направлена вверх, и кривизна

будет отрицательной, если вогнутость кривой направлена вниз.

Из формулы (1) видно* , что в точке перегиба кривой, где

кривизна кривой равна нулю.

106