Файл: Определенные и неопределенные интегралы учебное пособие для студентов Н. А. Фролов Министерство высшего и среднего специального образования РСФСР, Московский ордена Ленина энергетический институт. 1960- 4 Мб.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 05.04.2024
Просмотров: 72
Скачиваний: 0
Поэтому a J f(x)dx выражает то же самое множество функ ций, что и J af(x)dx,—множество первообразных для функции
а/(х).
Следовательно, равенство (III) доказано, если его пони мать в том смысле, что как операции, указанные в левой части равенства, так и операции, указанные в правой части этого равенства, дают одно и то же множество функций.
(Если а=0, то a $f(x)dx=0, а У af(x)dx=C, где С—про извольная постоянная).
Равенство (III) выражает правило интегрирования:
Постоянный множитель можно вынести за знак неопреде ленного интеграла или внести под знак неопределенного ин теграла.
Совершенно так же доказывается равенство (IV), из кото рого следует правило:
Неопределенный интеграл от конечной алгебраической суммы равен соответствующей сумме неопределенных интег ралов от слагаемых.
Пользуясь определением понятия неопределенного интегра
ла, по |
таблице дифференциалов элементарных |
функций не |
||||||
трудно |
составить следующую |
основную таблицу |
неопреде |
|||||
ленных интегралов: |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
J и- du = |
+ С (п Ф - 1), |
|
|
(V) |
||
|
|
|
j adL = in и 4- |
С, |
|
|
(VI) |
|
|
|
J |
е“ du — еи |
С, |
|
|
(VII) |
|
|
|
f a" du - — + С, |
|
|
(VIII) |
|||
|
|
J |
|
1п а |
|
|
|
|
|
|
cos и du — sin и 4- С, |
|
|
(IX) |
|||
|
|
sin |
и du =■ — cos и -|- С, |
|
|
(X) |
||
|
|
J |
_^- = tgzz + C, |
|
|
(XI) |
||
|
|
cos’ и |
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
= _ ctg U + С, |
|
|
(XII) |
||
|
|
J sin2 и |
|
|
|
|
|
|
|
(* —du—- — arcsin и |
С — — arccos и 4- |
С, |
(XIII) |
||||
|
J |
du - — arctg и 4- |
С — — arcctg и |
|
|
(XIV) |
||
|
f |
С. |
||||||
|
J |
1-М2 |
|
|
|
|
|
|
25
Эту таблицу основных интегралов можно пополнить новы ми формулами, которые выводятся . при помощи имеющихся
правил и формул интегрирования. |
|
где |
«<Д функция |
||
Прежде всего заметим, что в области, |
|||||
1п(—и) существует и |
d( — и) |
—du |
|
|
|
, . , |
, |
du |
|
||
d In ( |
— и) = —i==-------= — , |
||||
|
1 |
( — и) |
—и |
и |
’ |
поэтому при и<0
j = In (- и) + С.
Объединяя этот результат с формулой (VI), в которой под разумевалось и>0, получим более общую формулу:
|
|
|
|
J |
= in \и\ + С, |
(VI') |
||
применимую ко всякой области, где и =/= 0. |
|
|||||||
Пользуясь |
|
формулой (VI'), |
находим: |
|
||||
|
|
|
J tg и du — — In I cos и | |
-|- С. |
(XV) |
|||
Действительно, |
|
|
|
= — in | eos и | -f- C. |
||||
C tg и du = (* |
JlUfL du = — f |
|||||||
J |
|
J |
cos и |
J |
cos и |
|
|
|
Аналогичные вычисления дают: |
-f- С. |
|
||||||
|
|
|
J |
ctg и du = In | sin и | |
(XVI) |
|||
Формулы |
(XIII) |
и |
(XIV) могут быть заменены |
более |
||||
общими: |
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
dU |
|
— arcsin ~~ + С = — arccog — -f-C, |
(XIII') |
||||
J |
у а2 — и* |
|
а |
|
а |
|
||
J |
= Т агс‘8 |
Т + с = - Т arcc,« f с ‘XIV'> |
||||||
В самом деле,
26
Следует отметить, что интегрирование данной функции не всегда выполняется непосредственно применением полученных здесь правил и формул интегрирования. Чаще всего прихо дится прибегать к различным приемам, при помощи которых данный интеграл преобразуется к такому виду, когда стано вится возможным интегрирование применением основных пра вил и формул. Научиться находить правильный путь для этих преобразований можно только практикой.
Отметим, наконец, что хотя всякая непрерывная функция
/(х) имеет первообразную F(x), как это было доказано выше, однако может оказаться, что первообразная F(х) не выра жается конечной комбинацией элементарных функций, то есть может оказаться, что j/(x)dx существует, но нельзя его фак
тически найти.
К таким неопределенным интегралам относятся, напри мер,
3. Примеры непосредственного интегрирования
На ряде примеров покажем интегрирование непосредствен но применением основных правил и формул интегрирования.
Пример 1. Найти
3 ___
f '3 — 2'^У x )’ x dx.
Решение.
з __ |
4 |
5 |
J (3 — 2 У х )а х dx =• J (9 x — 12 x3 -f- 4x3) dx =
=J exrfx — J |
L |
dx 4- |
j 4 |
A |
|
|
12 x3 |
Xs |
dx — |
||||
|
|
4 |
rfx + 4 J |
£ |
|
|
=9 J x dx — 12! J x3 |
x3 |
dx — |
||||
|
|
7 |
|
8 |
|
|
|
|
S |
|
3 |
|
|
== 9 |
------ |
12 Aj- 4-4y + C = |
||||
|
2 |
~3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
O 2 |
/ 3 |
x^ + — |
|
4- C. |
||
= 3 x8----- - |
2 |
|
J |
|
||
|
\ 2 |
7 |
|
|
||
27
Пример 2. Найти
Решение.
=-тр-х,) </(1-х3) =
Пример 3. Найти
Г 6 х3 dx
J зч-хо'
Решение.
Г 6x3 dx |
_ 6 |
С |
(3 +xi) _ 3 1п о . |
J3 + X< |
4 |
J |
3 + х4 2 |
Пример 4. Найти
X + 1 |
_ |
x + 1 |
J (e 1 |
4- e |
2 ) dx. |
Решение. |
|
|
X +1 |
_ X +1 |
X +1 |
_ X +1 |
= 2 e 2 - 2 e |
2 |
+ C = 2 (e 2 |
- e - 2 ) + C. |
Пример 5. Найти
2 — - 1 ) dB.
3 /
Решение.
A-1pe = j(sec'A_2) ^/0 fiSS
28
d
——г - f 2 do - 3 f —V 3 < - 2 CrfO —
|
COS2 |
---- |
J |
" |
cos2 |
— |
|
|
3 |
|
|
|
3 |
Пример 6. |
Найти |
|
|
|
||
|
|
|
f |
dz |
’ |
|
|
|
|
J |
/ 9 — 4 z2’ |
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
C |
dz |
If |
d(2z) |
1 |
. 2z |
|
J |
/9 —4z2 |
2 |
J |
/32 — (2z)2 |
2 |
3 |
Пример 7. Найти
Гdx
J X2 + X + 1 '
Решение.
Пример 8. Найти
г |
(х2 — х») dx |
|
J |
/1^в |
|
Решение. |
|
|
(*х — x5)dx __ |
Г x‘dx |
Г х5 dx |
/1 — х6 |
J /1 — х6 |
J /1 — х6 |
29
