Файл: Штагер В.В. Чебышевские приближения, применяемые в расчетах электрических схем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 05.04.2024
Просмотров: 80
Скачиваний: 0
Путём подстановки |
z = X |
|
X |
|
7] |
У_ |
( 12. 10) |
|
|
= |
|
|
|
|
|
L |
|
|
ур-ние (12.9) приводится к |
виду |
|
|
|
(t,2L2 — L2) (т,2 L\~ L~ 2) = С (z2 х2 — у?) (z3 х2 — х~:2) ~ d- ^ |
|
|||
или |
|
|
|
|
________ Mdi\. |
|
|
dz |
12. 11) |
} (1 — т*)(1 — |
~~ |
,/ |
( |
|
|
|
|||
где М = С — — постоянная величина. L2
При изменении z от 0 до 1 функция л колеблется между + 1 и — 1, причём при изменении tj от — 1 до + 1 знак производной
— положительный, а при изменении -ц от -f- 1 до г— 1 этот знак d z
является отрицательным1). Таким образом, выбор знака корня спра ва однозначно определяет знак корня слева.
Проинтегрируем правую часть yp-HHHj (12.11) в пределах из менения г от 0 до 1
1
|
|
|
|
|
|
|
’ d z |
|
= |
№ |
) . |
|
|
|
|
( 12. 12) |
||
|
|
|
|
|
|
( 1 - * 2)(1 |
X4 г2) |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Выражение (12.12) |
представляет собой полный эллиптический ин |
|||||||||||||||||
теграл первого рода для модуля х2. |
|
от 0 до |
1 следует |
инте |
||||||||||||||
При интегрировании по z в пределах |
||||||||||||||||||
грировать левую |
часть ур-ния (12.11) |
в |
пределах от |
— 1 |
до |
+ 1 , |
||||||||||||
причём если |
п — чётное число, то |
т) йзменяется |
от |
— 1 |
до |
+ |
1 и |
|||||||||||
от -f- 1 |
до |
— 1 |
в этом промежутке |
|
раз. |
При |
нечётном п это |
|||||||||||
число |
равно |
|
. |
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
— М Г |
|
|
dr> |
|
|
пМ |
|
|
|
d f \ |
|
|
|
пМК{12)- |
||||
|
|
|
|
V |
(1 -т 2)(1 -^ д 2) |
|
||||||||||||
2 |
^ |
( i - V ) ( i - £ « V ) |
|
|
|
(12.13) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4) |
В случае чётного п |
при |
z = 0 у — l \ |
. |
. |
. Р |
\ |
= |
L , |
т|= |
-J- 1, |
следо- |
||||||
|
|
d т] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|
|
|
|
|
|
вательно |
|
а в |
случае |
нечётного |
п при |
z = |
0, |
у |
= 0 |
и |
т) = |
0, следова- |
||||||
< 0, |
||||||||||||||||||
|
|
d z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тельно, |
dJL > |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
54
Таким образом, при интегрировании обеих частей ур-ния (12.11) при изменении г от 0 до 1 получим
|
|
|
|
К (у-2) = |
пМК(Р), |
|
|
(12.14) |
|
|||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
т |
= |
пМ |
|
|
(12.15) |
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где К {у2) |
и К (L2) — полные эллиптические интегралы первого |
рода |
|
|||||||||
для модулей х2 и L2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Н о 4 К, (v) есть период эллиптической функции |
Яксби |
sn (и, v), |
|
|||||||||
поэтому соотношение |
(12.15) |
можно рассматривать как соотноше |
|
|||||||||
ние между периодами двух эллиптических функций Якоби |
sn(u, *2) |
|
||||||||||
-■и sn (и, L2). |
|
|
|
|
|
вторыми перио |
|
|||||
Для того чтобы получить соотношение между |
|
|||||||||||
дами (мнимыми) этих функций, следует проинтегрировать правую |
|
|||||||||||
часть ур-ния (12.11) в пределах |
изменения г |
от |
1 |
до |
х“ 2. |
|
||||||
При |
этом |
функция |
т] изменяется |
монотонно |
от |
ц = |
- f 1 |
до |
|
|||
*») = |
-f- L” 2 |
или от 7j = — 1 |
до |
Tj= — 1Г2 • Тогда |
при интегрирова |
|
||||||
нии получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
х |
‘ |
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= К ' ( Л |
|
|
(12.16) |
|
||
|
|
|
У |
(1 — г 2) (1 |
— х 4 г 2) |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
—2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
Md т) |
|
= MK'(L% |
|
|
(12.17) |
|
||
|
|
у (1-T]2)(1 _ L |
' - f ) |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
К' (v.2) = МК' (L2) |
|
|
(12.18) |
|
||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
"(Т2\ _ |
М |
|
|
(12.19) |
у |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, соотношения (12.15) и (12.19) показывают, что масштаб функции т, = sn (и, L2) в плоскости и в М раз меньше масштаба функции z. Кроме этого, первый главный период функ ции т] равен первому главному периоду функции z (с учётом изме нения масштаба в М раз), делённому на число п. Пользуясь по лученными в приложении формулами первого главного преобразова-
55
ния rt-й степени функции Якоби, можно выразить функцию т) череа г —sn (и, х2) для чётных п
7) = Sn |
+ K(L% U |
М
n_ |
1 _ |
sn2 (u, X2) |
|
|
(2 v — L) К (x 2) |
||
П |
|
n |
, X2 |
|
I |
||
|
(2v — |
!) К (x 2') |
|
|
1 — x 4 sn? |
|
sn2(u, X2) |
n
и для нечетных п
п-1 |
1— ------- |
sn2 (и, X2) |
|
|
2 V к (х2) |
2 |
sn2 |
, X* |
= — sn |
(И. *2) П- |
t 2 v К(*а) |
М |
||
|
= 1; 1; --- X4 SI!2 |
|
где
L = %пJ~| sn2 (2 у— 1)К№)
V-1
sn2 (и, X2)
> *2 »
( 12.20*
(12.21).
( 12. 22).
|
П |
(2 v — 1)К (у-2) |
М = |
7 sn2 |
,X2J |
п |
(12.23). |
|
|
2 7 К (х 2) |
|
|
. sir |
v—1
Вф-лах (12.22) и (12.23) при нечётных п над знаком про
изведения вместо — следует поставить - - - 1 . Возвращаясь от
переменной г к переменной х, согласно подстановке (12.10), и обо значив:
|
С2„ =sn* |
2 v/C (x«) |
, 2 |
|
(12.24) : |
|
|
« |
*• |
|
|||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
( 2 v - l ) / C ( x 2) |
• |
(12.25) |
||
C2v- , = ЗП2 |
n |
> * |
||||
|
||||||
получим |
x = |
x sn (и, xa), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y Lr‘ |
П 2 C^-> X П ' 1 - |
X2 C,2v— 1 |
|
|||
X 2 C2,_, *2 |
|
|||||
|
v=l |
*-l |
|
|
|
|
56
или
|
У = П |
х2 с 2ч_ , — X2 |
(12.26) |
|||
|
1 |
х2 С2ч _ [ х2 |
||||
для чётных значений п. |
Для нечётных п аналогично получим |
|||||
|
|
|
п- 1 |
|
* |
|
|
г |
Lx |
О |
1 |
* 2с |
2. |
|
„ |
|
||||
|
|
|
■»=! |
1 — X4 у2 |
b2v |
|
но |
|
|
|
|
|
|
|
|
п—1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
2' |
|
|
|
|
|
_ = |
ГГ у.2 С, |
|
|
|
|
|
М х |
Н |
2v* |
|
|
Следовательно, |
|
V - 1 |
|
|
|
|
п—1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
|
Г/ ==Х |
1 — Х2С2чЛ2 |
(12.27)’ |
|||
|
|
|
|
|||
|
|
v = l |
|
|
|
|
Для приведения выражений |
(12.26) и |
(12.27) к виду (12.4) и |
||||
(12.5) |
достаточно обозначить для чётных п |
|||||
и для |
нечётных п |
Р2= |
х*С.2-1-1 |
|
(12.28) |
|
Р2 = Х*С.2i • |
|
(12.29) |
||||
|
|
|
||||
Следовательно, мы получили решение задачи в нужном виде. Остаётся только привести формулы для вычисления коэффициентов Д, к виду, удобному для использования. Подставив (12.24) и (12.25)
в ф-лы (12.28) и (12.29), |
получим при чётных значениях п |
||
Дч = хsn |
(2v — |
1 ) /f ( x 2) X2 |
(12.30) |
|
|
П |
|
и при нечётных значениях п |
|
|
|
.Pv = х sn |
|
П |
(12.3Г) |
|
|
|
|
При этом’ коэффициенты |
Дч |
удовлетворяют |
неравенству |
1 > Р г > Р * > . - |
(12.32) |
||
|
|
|
57 |
Значения sn (и, у) |
для разных у.2 при изменении и в пределах |
|
•от 0 до |
К [вместо К (у-2) можно для простоты писать К] приведены |
|
на рис. |
12.1. Из этих |
кривых видно, что большим значениям v |
должны соответствовать большие значения Р , т. е. условие (12.32) не может быть выполнено. Для преодоления этого противоречия
будем производить нумерацию параметров Рчот х = |
у влево (в сто |
||||||||
рону |
начала |
координат), а |
нумерацию параметров |
Р у1 вправо |
от |
||||
х = у - 1 |
(в сторону -fe e ). |
Тогда в ф-лу |
(12.30) |
вместо v сле |
|||||
дует |
поставить |
1, |
а в ф-ле (12.31) |
v |
заменить на ^— |
5— |
|||
— v + |
1. |
|
^ |
|
|
|
|
2 |
|
Тогда как для чётных, так и для |
нечётных значений п |
||||||||
справедлива формула |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Р v |
у sn |
п — 2ч + 1 |
.2 |
|
(12.33) |
|
|
|
|
п |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
причём |
при чётных п ч — 1, 2 |
|
при |
нечетных |
п |
||||
v = 1, |
2 . |
. . — |
. |
|
|
|
|
|
|
Нули функции у, расположенные в точках х = Pv, находятся в первом промежутке [— у, — у], а полюсы этой функции, располо
женные в точках ~ , сосредоточены во втором промежутке + ■
V
1
Ч~ оо,
Величина уклонения функции у от нуля в первом промежутке, равная |L|, может быть вычислена по ф-ле (12.22). fСоответст венно, минимальная величина функции у во втором промежутке
равна 1
Для построения графика функции у необходимо определить точки, в которых расположены эти узлы. Так как у = L% очевид но, узлы первого промежутка расположены там, где rj = + 1 или
Z = - f - ^ - = + M (см. § 11). Из параллелограммов периодов для
Z = F (и) |
(рис. 11.5.) видно, что этими точками являются |
точки |
|||
u=2vW1= |
2ч К при чётных п и и — 2vQ1- f Qx : |
2v + |
1К при нечёт- |
||
ных п. Заменяя ввиду принятой нумерации v на ~ |
v при чётных |
||||
п или на |
1— v при нечетных п, |
получим |
для |
первого |
промё- |
жутка |
|
|
|
|
|
|
^v = xsn(!L~ |
К ) ’ |
|
|
(12.34) |
|
|
|
|
||
58
