Файл: Штагер В.В. Чебышевские приближения, применяемые в расчетах электрических схем.pdf

X

1

0

. ..0

0

1

2а

1

. . .0

0

0

1

2а

. ..0

0

(5.20)

0

0

0

1 2а

заключены в промежутке [—

1, + 1], называемом

основным.

Как было выше показано,

промежуток |— 1,

1 ] может быть

сует промежуток

[0,1],

то следует ввести переменное z

по формуле

z = -^ (a + 1)

(6.1)

при этом полином T„(z) будет иметь вид

Тп(z) =

-L [(2г -

1

f 2 V z ^ z ) "

+

(2z — 1 -

2 V z ^ z ) n).

(6.2)

Такой

полином,

вне зависимости

от

чётности

п, содержит все

степени

переменного г

(как

чётные,

так

и нечётные) не выше п:

Т0(г) = 1,

ТДг) = 2 г — 1,

Г, (2) = 8z2— 8z [- 1

и т. д.

Для графического оп­

ределение нулей полино­

'Ч

Л*

Л,

0\

а4

а3

Л2J+i

ма Чебышева следует по-

А(

> луокружность с радиу-

s

5

*.

сом / и центром в начале

Рис76.1.^Расположение нулей полиномов

координат (рис. 6.1) раз-

чебышева

Та (х).

делить

на

2п

частей,

ления

справа

налево и спроектировать

пронумеровать точки де­

на

ось а точки с

нечётны­

ми номерами.

Определим

точки

максимумов

и

минимумов из уравнения

Тп(х) = 0 или

sin п arc cos х

п

откуда

xm=

cos

(т =

1,2,... п — 1).

(6.3)

На рис. 6.1

точки хт находятся

в

основаниях

пунктирных ор­

динат. Очевидно,

Тп^cos

—

= cos mтг = (— l)m,

(6.4)

Тп(х)

на бумажной полосе нужно начертить синусоидальную кри­

вую,

чтобы

она

содержала

ров­

но п периодов и

склеить

из этой

полосы

боковую

поверхность

ци­

линдра

(рис.

6.2а). Затем

следует

спроектировать кривую на плос­

кость, проходящую через ось ци­

линдра

так,

чтобы справа эта плос­

кость

прошла

через максимум

(рис. 6.26). При чётном п плос­

кость

пройдёт через максимум и

слева.

Кривые Тп(х) для п от 1

до 6

приведены на рис.

6.3.

Т'п(+ 1) = lira Тп(х) =

п sin п arc cos х

Пт

X^l

JC-1 У 1

Tn( + l ) = l i m

п sin п 9

(6.5)

9 -0

sin в

по весу — 1__ -.

Это выражается равенством

1/1

— х2

+1

Tk(xl ±I

(x) dx = 0 (k, / — 0, 1, 2

кф I).

(6.6)

Г

ь

^ p(x)f(x)g(x)dx-= 0.

(6.7)

а

В случае, когда р(х) = 1, говорят, что

f (х) и g (х)

ортогональ­

ны в промежутке [а, Ь|.

Если система функций

fz (х) , . . . (а < х < 6)

(6.8)

такова, что любые две из них взаимно

ортогональны в \а, Ь] по

весу р{х), то такая система называется

ортогональной системой

веса р(х).

>1

7С

Г

l

— х2

dx — Г cos k0 cos / 0 d 0 = 0 (к ф [).

. I l

'

J

_i

о

Если k — /,

то

(6.9)

—l

Г

т> )

dx

|cos2k 0 d 0 =

(k = 1,2, . . . ) .

(6. 10)

J

V1- *

о

Ортогональная система функций (6.8)

называется ортонсрмаль-

Ak = ^p(x)f\{x)dx =

1.

(6. 11)

а

Если

(6.8) — ортогональная

система

функций,

но Анф 1, то

система

ш =

Ш = ^

,

. . .

(6. 12)

г Ф

Г Л2

будет ортснормальнсй, а переход от (6.8) к (6. 12)

называется

нор­

мированием функций системы.

Произведя нормирование функций системы полиномов Чебышева,

получим:

Т0 (де)------ 1= Г 0 (х) -------(6.13)

у

7Z

у

7Z

Тп (х)

=

V — Тп(х) =

Л/—

cos п arc cos х (п =

1,2, . . . ) .

(6.14)

* 7С

’

Т .

Таким образом, ортонормальная система полиномов Чебышева

удовлетворяет равенству:

+i

л

л

0 при

k ф I

Ть(х)Т,(х) dx =

1 =

0, 1,

2, . . . ) ,

(6.15)

1 при

(k,

—1

у

k = /

Наряду с системой полиномов Чебышева в основном промежут­

ке

[— 1, + 1

следует рассмотреть также

систему полиномов

Un (х)

с

весом У 1—х2,

определяемую по формулам:

^

w

-

~

n

+1w

(6-16)

или

и п (х) =

9 |- 4 =

,-

К* +

r +l ~ ( х - У ^ = л )"+1 ].

(6.17)

2\

х* — 1

Ввиду

того, что

[0

к ф I

.*

при

f

sin (к +

1) в sin (/ + 1) в d0 =

| К

(k, I = 0,

1,

2, ... ),

I

п р й к =.1

лосле подстановки cos0 =

х, получим

+i

_____

(О

при

k ф I

и

{к, 1 = 0, 1, 2 , . . . ) ,

j Vк (х) и 1 (х) V l—x2 dx=\jK_

при

k = /

г. е. система полиномов U„(x)

(6.18)

ортогональная Производя

нормирова­

ние системы Un(x),

получим

У

I

Uа(х) = ] / —

Un(х)

(п =

0, 1, 2 ,...) .

(6.19)

Рекуррентное соотношение для полиномов Un(х) имеет вид

Un+1(x)=,2xUn( x ) - U n_ l (x)

(п = 1, 2,.....).

(6.20)

Производя последовательное вычисление этих полиномов можно

получить:

U0(x)=\,

U1(x) =

2х,

U2(x) =

4х2— 1,

U3(x) = 8х8— 4х,

UА(х) = 16х4 — 12х2 +- 1,

и ъ(х) = 32х5 — 32х3 + 6х,

£/6(х) = 64х6 — 80х4 +- 24х2 — 1

и т. д.

Нули полиномов’£/л(х) располагаются в точках

хт■= cos————— (т = 1,

2,1. . . , п — 1).

т

п +

1

.