Файл: Поляхов Н.Н. Теория нестационарных движений несущей поверхности.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 05.04.2024

Просмотров: 68

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

получим

 

 

 

 

 

h ----- 2тсг ^ Сх

+

p b j

+

2ш (с0 — z0).

 

Интегрирование по С выполнено, поэтому вместо

теперь

можно всюду писать С.

 

 

 

 

Полагая

 

 

 

 

 

с0 =

Z0; С=

ге10; С, =

^ -

е№,

 

получим

 

 

 

 

 

+ г г;

где через f ( s ) обозначено выражение, стоящее в предшест­ вующем интеграле в круглых скобках.

Так как в неподвижной системе отсчета местоположение вихря и его напряженность yds неизменны, то при интегриро­ вании вдоль следа плотность у следует считать функцией толь­ ко координат. Если же след рассматривать в подвижной си­ стеме координат, связанной с профилем, то у будет функцией координат и времени.

В абсолютной системе координат вихри следа неподвижны и имеют плотность, независящую от времени. Напротив того, если мы будем из неподвижной системы наблюдать за движу­ щимся профилем, то расстояние s, отсчитываемое вдоль следа бт задней кромки профиля до вихря, будет изменяться с тече­ нием времени и потому

! / [ » « ) ]

 

 

а, следовательно, в случае

бесконечно длинного следа,

когда

Sj = со, получим

 

 

X's + iY's =

— ip j* yVc - t ds.

(24)

 

S q

 

Особенно просто вести

вычисления для случая пластинки,

с которой сходит вихревой

след, являющийся ее продолже­

нием. В этом случае

все сп

равны нулю, cos6 = — 1 и

:JC=

cos тс =■—

:34

следовательно, полагая

s = — х =

получим

г2 — ЛГ]Г + R* = О,

откуда

 

 

г =

у (*, + J / jc? — а 2) ,

причем точкам, лежащим вне круга, соответствует верхний знак перед радикалом. Тогда

Г ■*! + V х] —,Г* — „2 (Х1 ) ,

где а = 2R.

Формула (24) в этом Случае даст при ис — const

Х = 0,

й " Л 1 т(, _ И Ы Л'"

а

В более общем случае при следе,

совпадающем с отрица­

тельной осью S, получим

 

 

 

 

СО

 

СО

*1

X s -Т i Ys — — ip W

йI\ ^

 

Л=1

J

откуда

 

 

 

 

 

СО

00

 

 

* ;= р - з ?

 

 

 

 

Я

л -1

 

1

d%v

Коэффициенты ап и Ьп определяются обычным способом при конформном отображении внешности профиля на внешность круга.

Для тонкого, мало изогнутого профиля можно приближен­ но принять, что

* « 6i + X-

и, следовательно,

Тогда получим

0000

ал —1

3*

35

00

 

^ p V e^ ( - l )

n+i

 

ахл dx v

(25)

 

 

П = 1

 

 

a

 

 

 

 

oo

 

 

•*1

 

 

 

Ys = pVt aИ

\ 1

 

"I-

 

 

1 Л ? — ■

 

+ pVe ' 2 l { - l ) n+1nan j

-

H - 4

^ S - i j : i -

<r;). - + 4 r ; '

,25'a)

 

Л - 1

«

1

 

 

 

 

где (Ув)

соответствует

случаю неизогнутой пластины, для

которой

все а„

и Ьп равны нулю.

 

 

 

§ 5. Определение циркуляции

Скорость на профиле в проекции на касательное напрарление будет выражаться формулой

d®

d®d0 _

d®,

d®2

d®3

J_

ds

d0 ds

d0

v,с d0

+ © d0 ^ 2tc^ d0

ds

 

 

 

 

 

М

Для того чтобы в особой

точке

преобразования,

для которой

Ц - равно нулю, скорость vs не

обращалась

в бесконечность,

необходимо найти Г из условия

d®.

d®t

 

Г = — 2тс \и,

dФ^

а?Ф2

(26)

с

dO

d0

+ “ ~ d r +

d0

 

где 6B соответствует заднему острому концу профиля.

Выше мы выбрали направление осей I и -ц так,

что бв ока­

залось равным тс.

 

 

 

 

 

Если бы вихревого склада не было, то циркуляция опре­ делилась бы из условия

„

_ /

d®a

, d<b.о ,

(1Ф*

(26а)

Гk —

2тс I

^0

“Ь ’Ос Ж~ ^

т~Ж

 

 

 

 

 

'“ «В

Таким образом, циркуляция Г при наличии вихревого следа складывается из циркуляции Г& и дополнительной циркуля­ ции Г', которую следует наложить на профиль для того, чтобы удовлетворить постулату С. А. Чаплыгина при обтекании про­ филя потоком, создаваемым вихревым следом. Как видно из формулы (26), эта циркуляция равна

Г = — 2тс

dd>s

db

 

'в

36

Найдем сначала скорость ^ | - , получающуюся на окруж­

ности при обтекании ее потоком, который создается одним изолированным вихрем с циркуляцией §Г5. На основании фор­ мулы (20) имеем:

?£?1 Л I _ J______ Z _ \

где

Л

+

С - С ' , ] ’

 

 

 

 

r = Rel\ C' =

r V ',

 

Таким образом,

 

 

 

 

оГ^. 1

С-------- -------------- Г =

rfC

1 +

2я/ С

С2 — С(£' +

q) + C'Cj J

_ 8£,1 1 2га С 1

г' + р- — 2/? cos (0 — б7)

Вособой точке 9 равно тс и потому скорость там будет

равна

 

*£s I

 

R2

V' (тс)

,

/?2

 

2л R

 

/•

+

р + 2/? cos 0',

Для того чтобы скорость в этой точке была равна нулю, до­ статочно на окружность наложить циркуляцию

(рис. 12)

ЗП = - STs X

 

г'

Л2

X I

—г’

R 2

Рис. 12.

г ' +

—,

-\-2R cos 6'

Тогда общая скорость на окружности будет

В случае вихревого следа с плотностью вихрей 70 получим

 

,

R*

 

 

 

 

 

r ~ F

 

 

 

 

 

г' +—г

—1R cos(

1

da,

(27)

 

Rг

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

R2

 

 

 

 

 

г' + jr — 2/?cos91

 

r 4"

R12

 

 

da.

 

(28)

4- 2R cos ^0 —0^

 

 

 

причем интеграл берется вдоль линии вихревого следа в пло­

скости При интегрировании, следовательно, г и 6i должны быть известны как функции а. Можно, конечно, воспользоваться и равенствами

Г'2 = Г2 + V2,

Г' COS 0i =

 

da = d? | / l

+

(g ,)2.

Особенно простой вид написанные формулы примут в случае,

когда

мало

по

сравнению

с единицей.

Действительно,

тогда

 

 

daz^dt;,

cos 0j ps 1.

 

 

 

 

 

 

 

Замечая, что приближенно

для

вихрей в следе в плоскости z

можно

принять (опуская значки штриха у г')

 

 

 

 

 

Г +

^

 

. Я2

 

 

 

 

 

COS 0!: ■г А----

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 #*

 

 

и, следовательно,

 

_

х1 + угх1 —а2

 

 

 

 

 

 

(28а)

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

?

= V x i - a f ,

 

(28в)

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г

=

 

 

 

d x u

 

(29)

причем

интеграл

берется

вдоль

действительной

оси х г в пло­

скости

профиля.

Точно так же

 

 

 

 

 

®0(Я. е) =

_ 1_

 

 

 

-yfх{*— аг

d x v .

 

2тiR

 

 

 

хг+ acos 0

38

Смотрите также файлы