Файл: Поляхов Н.Н. Теория нестационарных движений несущей поверхности.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 05.04.2024
Просмотров: 72
Скачиваний: 0
откуда после интегрирования по контуру профиля получим
М = рJ(исх + vcy) 8Ф — ^ Re J^ J z d z —
L |
f |
£ |
|
- |
Р [ |
+ У^У)- |
(32) |
Так как 8ф можно представить в виде |
|
||
8Ф = 8ФЛ+ 8Ф5 + 8ФГ| |
|
||
‘где ЗФ^ соответствует |
квазистадионарному |
течению, а |
|
ЗФЯ и ЗФг' — течению |
от наличия вихревого следа, то первое |
||
слагаемое формулы (32) представится в виде |
|
||
р J (исх + vcy) 8Ф = |
р j* (исх + v cy) о (фА+ |
Фг )+ |
|
£ +РJ(ы-сх +^сУ) |
£ =7М ^ +Мт> +M s*. |
||
£ |
|
|
|
Величина |
|
|
|
Щ = Р j |
(«с* + vcy) ЬФк |
(33) |
|
i
есть момент, найденный в предположении, что движение происходит в отсутствии следа, т. е. как бы при постоянной во времени циркуляции, найденной для зафиксированных, мгновенных значений ис, vc, ш, так как
5Ф& = мс3ф, + дс8Ф2 + со8ф3 -(- Г^8Ф4.
Мы умеем определять на контуре круга Фи Ф2, Ф, и Ф4 как функции 6, поэтому определение Мь не представляет собой труда, если мы знаем д:(9) и у (б) согласно формулам (8а).
Так как
|
8 Ф г = [г > , |
ТО |
|
2и |
|
M r = р £ [ К * ^ |
^ 88 = Р (мс«о + Vcbо) Г'• (34) |
о |
|
Это выражение есть момент силы рУсГ', проходящей через точку с координатами а0 и Ьй, относительно начала координат.
Момент M s*, выраженной формулой
M s* = p j ( u ex + Vcy) §Ф5,
L
4в
может быть несколько преобразован. Действительно, так как: функция 4^5 на контуре профиля постоянна, то можно написать
М s* = 1 j (исх |
\ dFs dz = pRe |
где
Ve* = uc — ivc-
Переходя в плоскость С, будем иметь:
M s* =pRe |
dFs(Q |
z (С) dC |
|
Л |
|
где на основании формулы (20)
^ © |
1 (*„ (1 |
1 |
Л |
2wJ ‘0,Д |
С—С' |
|
Б |
|
причем, как и раньше, о' есть длина дуги вихревого следа, проведенная из начала этого следа в точку, где помещается вихрь с циркуляцией -р, do' (рис. 11); С'— комплексная коор дината точки N ' . Так как
|
z(C) = C+ ^ |
+ 2 |
^ - |
|
|
|||
|
|
|
|
п =о |
|
|
|
|
ТО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
- T |
с |
- b l x |
|
I s |
Lfe |
с - с ' |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
* ( ‘ + т + 2 |
Н Л da |
|
|
||||
|
|
|
л = 0 |
|
|
|
|
|
Производя |
интегрирование |
по |
переменному С с учетом: |
|||||
формул (23), |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
M s*> - - R e ( p V t*jTr, |
f |
+ |
|
|
|
do' |
||
|
l |
|
L |
|
n~0 |
|
|
|
Или, так как |
|
|
|
D2 |
|
/?2л2/6' |
||
|
c' = pV"', |
|
= |
|
||||
|
|
|
|
с' |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 2 + |
q = |
£ ( i + |
<?*'), |
|
|
||
44
то, опуская значок штриха, будем иметь:
|
M s*= — Re |
f ( 1 + ^ ' ) |
+ |
V £л |
|
(35) |
|
|
|
||||
|
|
|
|
я—О |
|
|
Если вихревой след профиля таков, что он при конформном |
||||||
отображении внешности профиля на внешность |
круга |
пере |
||||
ходит |
в отрицательную, |
действительную |
|
полуось |
?,, то |
г = |
= о == |
И |
|
|
|
|
|
где ^ = |С|.
В частности, для пластинки сп = О, Vc* = ис и |
|
Ms* = P«cj \ o f - 2^ , . |
(37) |
R |
|
Вэтом случае, переходя в плоскость z, имеем:
ипотому для точек следа
и, следовательно,
00 |
(38) |
M s* = pucj f { x i — V x 12— a2) d x v |
а
Переходим ко второму интегралу формулы (32), а именно интегралу
L
Рассмотрим сначала бесконечно тонкий профиль, т. е. дугу. В этом случае можем написать
Mt = - -f Re j \{vt - ivn)\ - (vt - ivn)2H\ ze~m dz,
L в
причем интеграл берется по верхнему разрезу. Замечая, как и раньше, что
= Тп. «/* = 4 |
v“* = VnB = ®я"» |
45
получим
Mi = — р Re J 'и, (vt* — ivn*) e~ibzds1 =
LB
= — p R e .^ t„ (u * — iv *)(x + iy )d sl,
LB
откуда
Mi = —p| f„ (m** + v*y)
LB
или векторно
Mi = p j [г X ( V"/* X Tn)J dsu
LB
где Vi* = Vi + Vn есть индуктивная скорость, вызываемая на профиле системой свободных и присоединенных вихрей. Можно убедиться, что
Г X (УпХТп)] dsl =°>
LB
имы окончательно получим
Mi = p J |
[г X ( Vt X |
То)] dsi = j |
(г X dRi) ds, |
(39) |
|
L B |
|
|
L B |
|
|
т. e. момент М{ |
есть главный |
момент |
элементарных |
индук |
|
тивных сил |
|
|
х Tnlrfsi- |
|
|
|
d R i = |
p (V{ |
|
||
Для телесного замкнутого профиля мы получим формулы этого же вида, устремляя к совпадению начало и конец дуги.
Переходим, наконец, к третьему интегралу формулы (32). Этот интеграл имеет вид
-(x d x + y dy) =
L
= — Р I ( « А + ъсф2 + 0)Ф3 + ГФ4 + |
(xdx + ydy). (40) |
Из этой формулы видно, что будет существовать момент М т, независящий от влияния следа
з
М т = — Р ^ Uk J Фк (xdx + УаУ)
k —1 |
L |
46
где
Wj — UCi U 2 — V c , U 3 — о).
Так как Ф^, как функции полярного угла б, мы вычислять умеем, то вычисление момента М т не представляет труда, если мы знаем л;(б) и у (6) в результате конформного отобра жения. В частности, для эллипса имеем:
x = a c o s6, y = 6 sin6,
x d x + ydy = — ai ^ bi sin 26^6
и, кроме того,
Ф! = — bcos6, Ф2 = — a sin 6, Ф3 = — д2 . 62 sin 20
и, следовательно,
Mm = f ( a 2 - & 2)2<“ .
Наконец, из формулы (40) вытекает выражение для момента,, связанного с наличием следа,
М г' = — Р f (ГФг + Фв) (xdx + ydy) =
s L |
a: |
1 |
da', |
(41> |
|
|
|||
где |
|
|
|
|
2 — x — гу, |
|
|
||
F(C ')= j |
In — U |
d ( z z ) |
|
|
|
C-Ci |
« |
|
|
|
|
1 |
— 2niz0z0. |
|
|
|
C-Cj |
|
|
|
|
|
|
|
Так как |
|
|
|
|
2 (С) - С+ ^ + ^ |
, |
|
||
|
|
л—0 |
|
|
|
|
я - 0 |
|
|
47
