Файл: Рвачев Л.А. Математика и семантика. Номинализм как интерпретация математики.pdf

бы Р), что противоречит аксиомам тождества гл. II.

Это затруднение можно обойти при помощи следующих понятий. Пусть в области вещей введен некоторый двухмест­

Так, в предыдущем примере, несмотря на то, что р <

<а , может существовать множество с элементами, равными

аи р.

На этом пути, используя некоторые вспомогательные по­ нятия, можно получить теоремы, которые в РР интерпре­ тации совпадают почти со всеми аксиомами Цермело—Френ­ келя. Однако проверять этот факт и оценивать его дедук­ тивное значение мы не будем, так как одна, содержательно центральная, аксиома о том, что для каждого множества существует множество всех его подмножеств — получена быть не может. Действительно, д ;1я множеств нет смысла

вводить такой предикат равенства, при котором равные мно­ жества могли бы иметь разную мощность. Между тем, так как, во-первых, каждая вещь имеет протяженность в про­ странстве—времени и, во-вторых, все элементы множества суть непересекающиеся вещи в одной ситуации (см. акси­ омы), то, привлекая упомянутые в гл. I топологические понятия, можно доказать, что каждое множество имеет мощ­ ность не более, чем счетную; следовательно, мы не сможем располагать объектами, пригодными для построения ана­ лиза.

Полагаем, что высказанные нами интуитивные соображе­ ния достаточны для того, чтобы отказаться от дальнейшего

37

рассмотрения псевдофизических множеств. Вместе с тем геометрические соображения позволяют предполагать, что в теории псевдофизических множеств может интерпретиро­ ваться арифметика.

6. Отыщем теперь в области вещей те вещи, от которы

абстрагировались предикаты.

Прежде чем переходить к точным формулировкам, рас­ смотрим их интуитивные предпосылки. Для простоты нач­ нем с одноместных предикатов.

По-видимому, под каждым свойством следует понимать возможность для вещей, обладающих этим свойством, пред­ определять одинаковое взаимодействие с чем-то, находя­ щимся вне их. Иногда это выражается явно, например, свойство «температура не более 10° С» представляет собой возможность для всех вещей, обладающих этим свойством, одинаково воздействовать на термометр а (а если имелся в виду любой среди многих термометров, то значит заранее предполагалось их равенство для выявления температуры). Мы говорим о возможном воздействии, так как наше пред­ ставление о температуре распространяется и на такие вещи, которые за все время своего существования ни разу не по­

вещь существует вместе с термометром и притом в надлежа­ щем взаимном расположении. Из-за того, что имеется в виду не только фактическое, но и возможное воздействие на тер­ мометр, мы не можем с помощью термометра различать тож­ дественные вещи, зато выигрываем право говорить о темпе­ ратуре вещей, не воздействующих на термометр. Еще при­ мер — способность расплющить вещь р. Вещи обладают’ этим свойством в зависимости от своей массы и твердости и независимо от того, приходилось ли им что-нибудь рас­ плющивать; а расплющивают Р тождественные им вещи в иных ситуациях.

38

В других случаях свойства (например, «красный», «круг­ лый», «пять») хочется рассматривать как присущие вещам вне всякой их связи с чем-то внешним. Однако это просто означает, что роль «внешнего» играем мы сами. Например, утверждение, что вещь красная, означает, что в некоторой ситуации, рассматривая вещь, мы должны в силу собствен­ ной внутренней структуры произнести слово «красный».1

Правда, мы хотим иметь дело с вещами, а пока что неясно, в какой степени удастся считать себя вещью, т. е. неясно, можно ли допустить существование вещей, моде­ лирующих всю деятельность нашего сознания. Поэтому будем делить свойства на реализуемые и такие, где псевдо­ физическая интерпретация бессильна; в будущем это де­ ление оправдается. Реализуемые — это те свойства, для которых описанный внешний объект взаимодействия пред­ ставляет собой вещь. Назовем его прибором.

Разумеется, разговор о некотором приборе предполагает предварительную договоренность о том, что такое, вопервых, вход прибора и, во-вторых, его положительная ре­ акция, т. е. о том, какое взаимодействие ожидается от при­ бора и исследуемых вещей (имеется в виду, что если вещь удовлетворяет прибору — обладает соответствующим свой­ ством — то в некоторой ситуации она находится на входе прибора — в соответствующем пространственно-временном положении—и в этой ситуации положительная реакция при­ бора является необходимой). Например, термометр а оказы­ вается различным прибором в зависимости от того, предна­ значен ли он для выделения тех вещей, температура которых

Ч о т факт, что краснота вещей зависит также от освещения, являет­ ся апостериорным и поэтому не играет роли для оценки красноты во всех ситуациях.

Но если краснота определяется как показания прибора, то, разу­ меется, это иное свойство, чем субъективная краснота, и может идти речь лишь о равнообъемности этих свойств. В обоих случаях краснота выявляется вне красной вещи.

39

не выше 10е С, или тех вещей, температура которых не выше 20° С, или тех вещей, которые могут его расплющить, или тех вещей, которые он сам может расплющить и т. д. Чтобы избежать такой многозначности, договоренность о входах и положительности реакций приборов будем счи­ тать фиксированной в конкретных теориях (подобным об­ разом нам пришлось фиксировать предикат 0 .

Рассмотрим теперь некоторый класс вещей, обладающих общим свойством. Спрашивается, может ли быть у этих ве­ щей что-то общее такое, чтобы оно само было вещью? Ответ, вообще говоря, один — соответствующий прибор. Поэтому будем заменять реализуемые свойства на их приборы, ин­ терпретируя тем самым часть абстрактных объектов на уров­ не вещей.

Введение приборов позволяет более полно формализовать упомянутое в гл. I представление о внутренней природе вещей.

Все сказанное нетрудно распространить и на случай мно­ гоместных предикатов.

7. Введем трехместный предикат «вещь х находится входе вещи (прибора) у, а вещь z относится к числу положи­ тельных реакций у» (обозначение П (х, у , z)). Как отме­ чалось в предыдущем пункте, приборы определяются не однозначно. Поэтому Q можно рассматривать как метаобо­ значение для некоторого класса трехместных предикатов.

Запишем аксиомы, общие для всех предикатов этого класса, а дополнительные аксиомы, характеризующие инди­

Это означает, что: прибор совместен с вещами на своем входе; прибор не пересекается со своими реакциями

40

и вещами на входе; сам прибор не предопределяет свою реакцию.

II. Q (л:, у, г) Д y==v Az=wz^(u)[(Es)Q(u, v, s) zd

о £2 (и, v, w)].

Это значит, что если есть прибор у и его положительная реакция г, то для тождественных у приборов каждая среди тождественных z вещей является положительной реакцией. Было бы естественно сверх того считать, что каждая тож­ дественная прибору вещь есть прибор, но у нас нехватает средств языка, чтобы говорить о приборе, если ему не подано что-либо на вход. Этот разговор возможен, если вместо £2 ввести следующие два двухместных предиката: «х находится на входе прибора г/» и «г есть положительная реакция при­ бора у». Однако мы ограничимся лишь £2, так как для на­ ших целей этого достаточно.

III. £2 (х, у, г) Д Л (х, г) i d х ->■ z

Аксиома III: вещь на входе сама не предопределяет реакцию прибора. Исключение возможно для вещей х, пересекающихся с реакцией z, так как в принципе даже саму реакцию можно подать на вход; однако при этом она не предопределяет непересекающиеся с ней реакции.

Для удобства следующие аксиомы будут введены после того, как мы определим двухместный предикат «вещь х удов­ летворяет прибору у» (обозначение у (х)):

у (х) — (Ей) (Ev) (Ew) (Ez) [ и = х Д v =

= УА £2 (и, v, и») Л Л (и, w) Л uw Л 2 (и, V, г) Д г ->и>], (1)

т. е. если вещь удовлетворяет прибору, то это означает, что вещь можно подать на вход прибору, и ее объединение с при­ бором предопределяет положительную реакцию, которая не пересекается с поданной на вход вещью. Заметим, что если

41

у (х), то необязательно (Ez) й (х, у, г), так как у (.х) озна­ чает лишь возможность положительного реагирования у на х, а х на входе у может и не быть.

Будем называть х прибором, если

(Ей) (Ev) (Ew) [v = х Д й (и, v, а>)].

Очевидно, под это определение подпадают все те вещи, кото­ рые являются приборами согласно словесной формулиров­ ке предикатов й (х, у, г) я у (х). В частности, если у не

прибор, то (х) у (х).

IV. (Ех)(Еу)у(х).

Впротивном случае бесцельно вводить й.

V.у (х) Л Й (х, у, г) ZD

у предопределена при любом расположении х на входе у. Таким образом, реакция прибора на вещи, находящиеся на его входе, зависит только от внутренности этих вещей. Заметим, что если й (х, у, г) я у (х), то положительная реак­ ция, которая предопределена, может и не быть в той ситуа­ ции, где х, у (из-за помех); кроме того, этой предопределен­

Это следует непосредственно из (1) и транзитивности тождества.

(х) х (х). (4)

42