Файл: Кац М. Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2024
Просмотров: 91
Скачиваний: 2
Н О Р М А Л Ь Н Ы Й ЗАКОН
Вычисляем
|
h |
I |
|
|
|
= |
^ Г - ^ г 2 |
S |
( гк ) ( |
1 ) |
в‘К2г-к)М4(2.-ОМИ |
и |
2к 2‘ Г= 0 8=О |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Вследствие |
линейной независимости |
и Х2 выражение |
|||
|
( 2 г - к ) К + {2s - l ) |
Х2 |
|||
может быть равно нулю |
только |
тогда, когда 2г — к |
|||
и 2s = 1, отсюда почти |
немедленно следует, что |
||||
если одновременно к п I четны, и равны 0 во всех других случаях. Мы можем записать (5.12) в форме
М {cos'* Xxt cos' X2t } = M {cos* k j } M {cos' k2t }. (5.13)
Теперь, сопоставляя это с (5.11), мы получаем
М (eiti(coeM+cosM)} = м {е>Т)С08Я.1/| Д / | е 4 т]С0 8 Я.2 '} . (5.14)
78 |
|
ГЛАВА |
3 |
|
Ясно, |
ЧТО |
2Л |
|
|
|
м {eincos\(j _ |
|
|
|
|
_L_ |
в1Лсов0^в 7о (Т1) |
(5.15) |
|
п, следовательно, [по |
(5.14)] |
|
|
|
|
М (eiri(cosM+coe^()} = ,/2(г]). |
|
||
Таким образом, формула (5.10) доказана. Полагая
теперь в (5.8) Т —> со, |
мы с помощью (5.9) |
|
и (5.10) |
||||
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
СО |
|
|
|
|
|
|
|
TST $ в ; < Е № ( У 2 - £ - ) « ! < |
|
|
|
||||
—оо |
|
|
|
|
|
|
|
< l i m i n f - ^ r |
$ g ( У 2 cos |
+ - _ + cos ^ |
) dt < |
||||
• 1* |
1 |
0т |
-■ ATTCOS |
. . . -4—COS %т%1 \ |
,, |
||
<. lim |
sup ^=r |
\ |
g ( |
к 2 ----- ‘ |
------— |
) dt < |
|
T~*co |
L1 |
_ ф |
V |
|
У П |
J |
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
« - я - |
$ с ; ( 1 ) А г ( Г 2 ^ ) « . |
|
(5.16) |
|||
Хорошо |
известно, |
что |
при г] -> |
± со |
|
|
|
' 1 л
НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН |
711 |
и, следонательно, при п > 3 функция |
|
|
|
'г O '2 |
|
) |
|
абсолютно интегрируема по |. |
Из |
этого вытекает, что |
|||
(при ге> 3) |
|
|
|
|
|
СО |
|
|
|
|
|
—оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
,И м А _ |
5 |
|
<*5 |
и_поэтому |
предел |
|
|
|
|
т |
cos Я]<-|- ... -f cos |
^ d t = |
|||
|
g |
||||
i'Z УГ i |
/ й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= Н -лИ п(® 1, ®г)} |
существует!1). Теперь (5.16) |
может быть записано |
||||
в форме |
|
|
|
|
|
ОО |
|
|
|
|
|
4- J Ge- ( g ) / ? ( / 7 - ^ ) d E |
< liB{4n (<B1, ©,)}< |
||||
—оо
оо
< -ш S
х) Для п = 1 и /г = 2 это также верно, однако доказатель ство изменяется.
8(1 |
ГЛАВА Я |
и легко проверяется, что
lim /» ( y 2 - ^ r - ' ) = e - W .
Доказательство (5.7) может быть теперь закопчено, как в п. 3. Если мы взглянем на
как на результат суперпозиции колебаний с несоиз меримыми частотами, то теорема, содержащаяся в (5.7), дает точную информацию об относительном времени, которое qn (t) проводит между и <в2. То, что мы пришли здесь к нормальному закону
связанному обычно со случайными явлениями, может служить указанием на то, что детерминистская и вероятностная точки зрения пе такие уж неприми римые, какими они кажутся с первого взгляда. Далее мы не будем останавливаться на этом вопросе, ибо это увело бы нас слишком далеко в сторону. Однако может быть уместной ссылка на Пуанкаре, который сказал (отчасти, несомненно,-в шутку), что в нормаль ном законе должно быть что-то таинственное, так как математики считают его законом природы, тогда как физики убеждены в том, что он является математи ческой теоремой.
|
|
|
|
|
НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН |
|
|
81 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАЧИ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Доказать, что если |
A,lt |
. . . , Я П линейно |
независимы, |
||||||||||
то функции cos X^t, |
. . . , cos Xnt статистически независимы, т. е. |
||||||||||||
для всех действительных a lt |
ап |
П |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Рн {cos V |
< a lt |
. . . , cos knt < |
a „ }= |
[ | |
pR {cos Xkt < |
cck}. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h=l |
|
|
|
|
[Это, конечно, то свойство, которое |
лежит в основе доказа |
||||||||||||
тельства утверждения (5.7).] |
1. Рассмотрим ({-функцию Римана |
||||||||||||
2. |
Пусть s = |
a-\-it, a > |
|||||||||||
|
|
|
|
№ > = 2 4 |
|
|
|
Jt_ |
' |
|
|
||
Доказать, |
что при |
О |
|
|
|
|
Р5 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
{ |
^ |
4 |
^ |
} |
t '-чад . |
|
|
ЛИТЕРАТУРА |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
М а р к о в |
А., Исчисление вероятностей, |
М., 1924. |
книга |
||||||||||
Л о э в |
М., |
|
Теория |
вероятностей, |
ИЛ, |
М., |
1962. |
Эта |
|||||
|
содержит в полном объеме теорию функций распреде |
||||||||||||
|
ления |
и, |
в |
частности, |
указанные |
выше |
результаты |
||||||
К а с |
П. Леви. |
|
|
|
les |
fonctions |
independantes IV, |
||||||
М., |
S t е i n h а u s Н., Sur |
||||||||||||
|
Studia |
Math., |
7 (1938), |
1 — 15. |
|
|
|
|
|
|
|||
6 M. К ац
Глава 4
ПРОСТЫЕ ЧИСЛА «ИГРАЮТ В АЗАРТНУЮ ИГРУ»
1. Теоретико-числовые функции, плотность, неза висимость. Теоретико-числовая функция f(n) — это функция, заданная на множестве чисел натурального
ряда 1, |
2, 3, . .. . Среднее |
значение М {f (п)} |
функ |
|
ции / (п) |
определяется как |
предел |
(если он |
сущест |
вует) |
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
М {/(n)} = lim |
~ 2 |
/ И - |
( 1.1) |
Пусть А — некоторое множество положительных целых чисел. Обозначим А (N ) количество тех его элементов, которые содержатся среди первых N чисел натураль ного ряда. Если существует предел
( 1. 2)
то он называется плотностью А. Плотность анало гична относительной мере (см. п. 5 гл. 3) и, подобно ей, не является вполне аддитивной. Рассмотрим целые числа, делящиеся на простое число р. Плотность множества таких чисел, очевидно, равна 1 /р. Возьмем
ПРОСТЫЕ ЧИСЛА «ИГРАЮТ В АЗАРТНУЮ ИГРУ» |
83 |
теперь множество целых чисел, которые делятся одно
временно |
на р |
и q(q — другое простое число). |
Дели |
мость на |
р и |
q эквивалентна делимости на pq, н, |
|
следовательно, |
плотность нового множества |
равна |
|
1 /pq.. Так |
как |
|
|
то мы можем истолковать это так: «события», заклю чающиеся в делимости на р и q, независимы. Это, конечно, выполняется для любого количества простых чисел, и мы можем сказать, употребляя образное, по не очень точное выражение, что простые числа играют в азартную игру! Это простое, почти тривиаль ное наблюдение является источником нового направ ления, которое существенным образом связывает тео
рию чисел, с одной стороны, |
it теорию вероятностей — |
|||
с другой. |
|
|
|
|
Мы проиллюстрируем в деталях некоторые эле |
||||
ментарные аспекты |
этого направления и кратко |
обсу |
||
дим более сложные.2 |
|
|
|
|
2. Статистика |
значений |
ф-функций Эйлера. |
Обо |
|
значим через ф (п) |
количество целых чисел, не |
пре |
||
восходящих п п взаимно простых |
с ним. Эта теоре |
|||
тико-числовая функция, впервые |
введенная Эйлером, |
|||
имеет много применений и представляет значительный интерес сама по себе.
Сразу же проверяется, что если
(т, п) = 1
G*
