Файл: Кац М. Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел.pdf

материала п. 3 обнаруживает, что в действительности доказана следующая теорема.

Пусть /„ (*), 0 < t < 1, — последовательность изме­ римых функций, такая, что для каждого действитель-

1) О п ( - оо) = 0> ffn( + °°)= 1;

2)ап (со) — неубывающая;

3)сгп(со) непрерывна слева.

6—оо

инаша теорема может быть сформулирована так. Если последовательность функций распределения

ап(а>) такова, что для каждого действительного | +°°

— ОО

Внимательный читатель заметит небольшой логический пробел. Если нам задана какая-либо последователь­ ность функций распределения пп(со), то последнее утверждение следует из предыдущего только тогда, когда мы можем подобрать последовательность функ­ ций /„(<), 0 < £ < 1 , таких, что

В сущности, это затруднение можно обойти, пользуясь аргументами п. 3. Однако конструкция функций / п (<) чрезвычайно проста. Действительно, мы можем взять

цп ((о), имея в виду, что интервалы постоянства ап(со) переходят в разрывы fn (t) и разрывы 0п (со) —в интер­ валы постоянства /„(£). Мы оставляем детали чита­

П->00 v

ис (|) непрерывна в точке | = 0, то существует един­

ственная функция распределения н(со), такая, что

ТХ-ЮО

при каждом со, для которого а (со) непрерывна. Доказательство в дополнение к уже изложенным

идеям использует так называемый принцип выбора Хелли и ввиду некоторых технических трудностей не может быть здесь представлено. Поэтому мы про­ пустим его, но в то же время будем свободно исполь­ зовать теорему впоследствии.