Файл: Кац М. Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2024
Просмотров: 90
Скачиваний: 2
НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН |
71 |
Замечание: тем же самым способом, но используя более хитрые комбинаторные соображения, можно доказать, что если
|
2 |
|
\ск \<М, |
|
|
и |
/1=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то |
|
пк |
> 7 > 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ок cos 2nnkt |
|
0>2 |
|
Нш р, |
У 2 |
у п |
со2 |
-4= Гe-vm dy. |
|
П - + С О |
|
|
|
у2л |
.) |
|
|
|
|
|
0>1 |
|
|
|
|
СО |
|
В частности, |
отсюда следует, |
что равенство ^ |
cft — со влечет |
||
|
|
|
со |
I |
|
за собой расходимость |
почти |
всюду ^ ск cos 2nnkt (аргументы, |
|||
|
|
|
1 |
косинус заменяется |
|
конечно, применимы и в том случае, когда |
|||||
на синус). |
|
|
|
|
|
Как читатель может видеть, это близко связано с методом, |
|||||
использованным в примере 2 |
п. 5 гл. 2. |
|
|
||
3.Пусть a ((a) —функция распределения, и пусть
СО
Доказать, что
т
Jim |
\ |с (!)|г<2£равенсуммеквадратовскачковфункцииа(ш). |
Т-*оо * |
.) |
|
О |
72 |
ГЛАВА .4 |
|
(Эта простая, |
но замечательная теорема |
принадлежит |
Н. Винеру.) |
|
что |
Доказательство может основываться на том, |
||
1
с{1)= ^
О
где / (1)—функция, обратная а (со) в том смысле, как это опи сано выше. Таким образом,
|
|
т |
|
|
|
еч </<»>—/(О) |
* |
|
|
|
4- J lc(i)S2^ = |
|
|
|
|||||
и |
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
liin |
ei6(/(!)-/(«)) dg = |
0, /(0¥=/(*). |
|
|||||
|
Т~*оо "г |
5 |
|
|
|
1, f(t) = f(s). |
|
||
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
Отсюда |
но |
теореме об ограниченной |
сходимости |
следует, что |
|||||
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
Иш |
* |
^ |
I е(S) I* dg |
|
|
|
|
|
|
Т-*оо -* |
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
существует |
и равен мере множества |
точек (<, s) |
(0 < ;/, |
s <11^ |
|||||
плоскости, |
для |
которых |
/( 0 |
= |
/ ( s)- |
Это эквивалентно |
нашей |
||
теореме. |
|
что |
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Доказать, |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
ОО |
|
|
СО |
|
|
|
|
|
/ (0= J! |
|
|
2 |
eh < °° |
|
|
|
|
|
|
/t=i |
|
|
1 |
|
|
|
не может быть константой на множество положительной меры, за исключением случая, когда все величины с, кроме конеч ного числа их, равны 0.
НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН |
73 |
5. Закон природы или математическая |
теорема? |
В заключение главы мы рассмотрим пример, который поучителен с точки зрения пак используемых понятий, так и технических приемов.
Сначала нам понадобятся три определения.
1. Относительная мера. Пусть А — множество дей
ствительных чисел. Рассмотрим |
часть А, |
которая |
|
лежит в интервале |
( - Т , Т), т. е. |
Л(~|( — Т, |
Т). Отно |
сительная мера множества ря{-4} |
определяется как |
||
предел |
|
|
|
рй {Л} = |
Н т ^ _ р { Л П ( - 7 \ Т)}, |
(5.1) |
|
|
Т-их ^ |
|
|
если он существует. Относительная мера не является
вполне аддитивной; так, если A { = (i, £ + 1), £ = 0, zt 1, zb 2, ... , то
Ря{. U ^i} = 1,
г=—СО
и то время как
оо
2 рн {'Ы = о.
г=—оо
2. Среднее значение функции. Среднее значение
М {/(£)} функции /(£), — о о < £ < о о , |
определяется |
|
как предел |
т |
|
|
|
|
М {/(£)} = Пш — ■ \f(t)dt, |
(5.2) |
|
Т-+-оо |
J |
|
если он существует.
74 |
ГЛАВА :i |
3. Линейная независимость действительных чисел.
Действительные числа Ах, Х2, . .. называются линейно независимыми (или независимыми над полем рацио нальных чисел), если единственным решением(kv к2, ...) (в целых числах) уравнения
к1Х1+ |
к2к2+ |
. .. = 0 |
(5.3) |
является |
|
|
|
/с1 = /с2 = /с3= . .. = 0 . |
|
||
Наиболее известный |
пример |
линейно |
независимых |
чисел представляет собой последовательность |
|||
log Pi, |
logp2, |
logp3, . . . |
(5.4) |
логарифмов простых чисел (рх = 2, р2= 3, ...). Как читатель, несомненно, отметит, линейная независи мость величин (5.4) эквивалентна теореме о единст венности разложения чисел на простые сомножители. Это простое, но замечательное наблюдение было сде лано в 1910 г. Г. Бором, для которого оно стало отправной точкой нового подхода к проблемам, свя занным со знаменитой ^-функцией Римана.
Пусть теперь X.,, Х2, ... линейно независимы. Рас смотрим функцию
A-COS Ххt-\- . . . 4-COS Xnt |
(5.5) |
)/2 |
V n
Обозначим через ^ n(coj, co2) множество, на котором
(ax < ]/2 cos У*+ : • • f cos W < ^ |
(5.6) |
V n |
|
Мы можем теперь доказать, что ря {_4„ (top to2)} опре
НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН |
75 |
делена |
и, |
более |
того, что |
|
|
0)2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim Цн {Ап (coj, « 3)} = 7 7 = |
$ |
e-W*dy. |
(5.7) |
||||||
|
|
n-wo |
|
|
У ^ |
Ш1 |
|
|
|
||
Использовав систему |
обозначений |
п. |
3 |
этой |
главы, |
||||||
будем иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4 г |
|
|
|
|
у |
|
|
|
|
|
|
-Уг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
< 4 r |
-г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
1 |
Г ^ |
Л ^ |
СО5^ + |
" - + |
С08^ Л |
М |
(5.8) |
||
|
< 1 Г |
H |
' v |
|
V» |
|
|
J |
|
|
|
м |
|
|
- Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
±_ |
Г |
„± f Y z cosX't + ' " ^ cosknt^ldt = |
|
|
|||||||
2 Т |
J |
\ |
^ |
|
Y П |
|
J |
|
|
|
|
-Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— 2Г $ ^ [ т г Г |
) « p ( i 6 V 2 x |
|
|||||||
|
|
|
—СО |
” |
^ |
| г/р 1у |
|
(5.У) |
|||
|
|
|
cos)-iH----+cosXnt_\ ^ |
|
|||||||
|
|
|
|
т/- п |
/ |
|
J |
|
|
|
|
1) |
Напомним, |
что мы воспользовались сокращением |
|||||||||
|
|
|
|
|
СО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с±(5)= ? *?<*) е‘|А^- |
|
|
|||||
|
|
|
|
с |
О |
|
|
|
|
|
|
—оо
7(> |
3 |
где обе функции (|) и 6'ё (g) абсолютно интегри руемы в интервале ( — со, со). (Таким образом, изме нение порядка интегрирования легко обосновывается.)
Докажем теперь, что
lim |
|
ехр Г ft |
COS A.-Ji |
|—. . . —COS %nt |
dt = |
|
||||||
Т-*С!о ^ 5 |
V |
" |
|
V n |
|
- |
(5.10) I |
|||||
|
|
|
|
|
= |
Jn |
V |
V 2 |
Y n J |
|||
|
|
|
|
|
--- |
V |
|
|
|
|
|
|
где J 0 —известная |
функция |
Бесселя. |
п —2, |
так |
как |
|||||||
|
Мы проведем доказательство для |
|||||||||||
доказательство для |
произвольного п |
точно такое |
же. |
|||||||||
|
Мы имеем (обозначая |
ц = £ ] / 2/]/Зг) |
|
|
|
|||||||
I |
т |
-,i4(COSX1/+COS>.2/) (if = |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2Т |
) |
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
со |
|
|
Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
2 |
" ^ 7 T ” '2ir |
S c°s'!V cos‘M * . |
(5.11) |
|||||||
|
|
h, f=0 |
|
|
-T |
|
|
|
|
|
|
|
Задача |
состоит в том, чтобы найти |
|
|
|
|
|||||||
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
^ cos'1%xt cos' |
|
= |
М {cos'1 |
cos1K2t}. |
|
||||||
Т-»oo^' J,
