Файл: Кац М. Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел.pdf

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 06.04.2024

Просмотров: 87

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

84

 

ГЛА ВА

4

 

(т. е. т и 11 взаимно

просты),

то

 

 

ср (тп) = ф (т) ф (п)

(2.1)

и

 

 

 

 

 

ф (Р“) = Ра — Ра~1-

(2.2)

Таким

образом,

 

 

 

 

Ф Н =

П (ра - р а- ‘)

(2.3)

ра |п

ра Г 1 ( П

или так как

П= Г1

Ра

(2.4)

ра|™

 

P a + 1

| n

 

(единственность разложения на простые множители !), то

^ - П О - т ) -

(2-5)

р .п

 

 

 

Введем теперь функции

Qp (n)

следующим образом:

 

(

1,

р \п ,

 

“» <"> =

|

0,

р \ п .

(2-6)

В терминах этих функций мы можем записать

<2-7>


ПРОСТЫЕ ЧИСЛА «ИГРАЮТ В АЗАРТНУЮ ИГРУ»

85

Заметим теперь, что если е; равны или 0, или 1, то

D {qPj (п) = Ej, Qp2 (п) = e2i • ■• i Qpjt (n) = е(Л =

= D{QPi(n) = e1}D{QP2(n) = e2} . .. D {qP(j (n) = eh}.

( 2. 8)

Это —просто другой способ записи того факта, что «события», заключающиеся в делимости на ри р 2,

.. . , p k, независимы (или что функции рр (?г) неза­ висимы).

Из свойства (2.8) следует, что

p$pft

p^pft

“ П С 1—? ) • <2-9)

P^Pk

Поэтому мы можем предполагать, что

р

р

( 2. 10)

К сожалению, (2.10) невозможно вывести прямо из (2.9), так как плотность D не является вполне аддитивной,

86

ГЛА ВА 4

Но, с другой стороны, (2.10) легко получается следующим образом.

Из (2.5) вытекает, что

^ = 2 ^ .

(2.Н)

din

где (X(d) — функция Мёбиуса, определяемая свойствами:

1)ц (1) = 1;

2)[г (т) = 0, если т делится на квадрат простого

числа;

3)

ц (т ) = ( — l)v, если т

является

произведением

v различных простых чисел.

 

 

 

После

 

этого

получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

ф(я)

 

1

N

 

 

 

 

 

i

s

 

S “r[i-J.

(2-12)

 

 

п

 

N

 

 

 

п = 1

 

 

 

d=l

 

 

 

и, следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СО

ц (в)

 

 

 

 

 

 

м

1

п J

^

 

11V

Р* J

с (2)

я* •

d2

 

/

ф (и) \

_ у

 

-

тт

( i

1 v

1

6

 

 

 

 

 

 

 

 

d=l

 

 

р

 

 

 

 

Обозначим

/.<»>“ п 0-^)

(2.13)

(2.14)

v^vh


ПРОСТЫЕ ЧИСЛА «ИГРАЮТ В АЗАРТНУЮ ИГРУ»

87

и рассмотрим

Мы, очевидно, имеем

(2.15)

и, кроме того, согласно (2.13) и (2.9),

=п (*-£)-пОр --?)'

(2.16)

 

 

Далее, при I > 1

 

 

 

 

(2.17)

и потому

 

 

N

 

 

п=1

n=t

 

п — 1

П=1

88

 

 

ГЛАВА 4

 

 

 

Полагая N —>оо, получаем

 

 

 

М {Ц {п )}>

 

 

 

 

 

 

 

> lim slip ~

^

V « У

> l i m inf

~

\

п J

iV->00

iV

iV->oo

N

 

 

71=1

 

 

 

77=1

 

 

 

 

 

{ /* (« ) -

 

(2.18)

В то же время

 

 

 

 

 

Af (/■»<»)} =

 

 

 

 

 

 

 

= " { п 0 - ^ ) ' } =

п " { ( 1 - ^ ) ' } -

p^Pk

 

 

 

p^Ph

 

 

 

 

 

- П [ ‘ - т +т ( ‘ Ч ) ' ] -

 

 

 

p^pft

 

 

 

 

Объединяя

последний результат

с (2.16)

и (2.18),

мы получим при А:—>со формулу

 

 

 

^ { ( ^ ) ' } = п [ 1 - ^ + ф О - ф ) ' ] .

 

 

 

V

 

 

 

 

предложенную И.

Шуромт

 

 

 

(2.19)

 

 

 

 


ПРОСТЫЕ ЧИСЛА «ИГРАЮТ В АЗАРТНУЮ ИГРУ»

89

Формально (2.19) следует из цепочки равенств

 

 

 

“ П ^ { ( ‘ - Йт 4) ‘} =

 

 

 

- П ^ - т + т О - т ) 1]-

 

 

 

 

v

 

 

но так как D не является вполне

аддитивной, то

необходимо

обоснование, данное выше.

 

 

Из равенства

(2.7) мы имеем

 

 

 

 

1«8

2

1о8 ( ! - - “

) =

 

 

 

 

V

 

 

 

 

 

 

= 2

ep ( « ) 1 « g ( 1 - 7 - ) ’

(2 .2 0 )

 

 

 

V

 

 

 

и опять-таки, формально,

 

 

М j e x p ( j £ l o g ^ - ) } =

 

 

=

Г1М{ exp ( igQp (n) l o g ( i - - £ ) ) }

=

 

 

V

 

 

 

 

 

-

п 0 - 7

+ у

р 0

Е1о6 ( ‘ - у )

) ) “

' № ) ( 2 '21)

 

V

 

 

 

 

 

для каждого действительного


90

ГЛАВА 4

Строгое обоснование (2.21) почти совпадает с тем, что дано для (2.19) и предоставляется читателю.

Пусть теперь K N (со) — количество целых п, не пре­ восходящих N, для которых

 

 

 

 

io g 1 —

< ®-

 

Положим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

aN (со) = Kn (<о)

( 2. 22)

 

 

 

 

 

 

N

 

Заметим,

что

а^ (со)

есть

функция

распределения

и что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e x p f iglog^ji-,') + . . . + e x p ^ g l o g ^ L )')

J

 

daN (со) =

-------------- ^

^

— СО

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.23)

Из

равенства (2.21) следует,

что

 

 

 

оо

 

 

 

 

 

lim

^

e^a daN (a) = М jexp ^c'51og-5 ^ -^ j = с(|).

 

 

 

 

 

 

 

(2.24)

Кроме

того, легко показать,

что с (5)

непрерывна при

5 =

0.

Тогда по теореме, сформулированной в конце

ц.

4 гл.

3, существует

функция распределения а (со),