Файл: Кац М. Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2024
Просмотров: 83
Скачиваний: 2
ВОРЕЛЬ |
И ПОСЛЕ НЕГО |
49 |
Таким образом, (5.11) |
превращается и |
|
R |
|
|
я, следовательно, по (5.7) ряд
оо
S с к г к Н о )
сходится.
Вышеприведенные аргументы могут быть непосред ственно применены к доказательству того, что ряд
ОО |
|
(5.14) |
2 |
chsin 2я2Н |
|
сходится почти всюду, |
если |
|
2 |
4 <"со- |
(5.15) |
|
Эта теорема естественным образом подсказывается, если заметим, что
rh (t) = sgn sin 2я2h~l t.
Действительно, наше доказательство основывается на трех свойствах функций Радемахера:
1)ортонормальность,
2)(5.12),
3)(5.13).
При замене rk (t) на |
sin 2я 2ht свойства 1 |
и |
2 сохра |
няются. Последнее |
же не сохраняется |
в |
точности, |
4 M . К а ц
50 |
ГЛАВА 2 |
|
однако |
при к < т мы имеем |
|
&т |
|
|
Usin 2я 2kt dt = (Pm — ат) sin 2я 2'Ч0-f |
|
|
|
• 7П |
|
|
+ jj (sin2n2'T-sin2n2'T0)(ft |
(5.16) |
| |
^ (sin 2я 2kt — sin 2я 2ht0) dt J |
|
< |
|
||
am |
|
|
|
|
|
|
< |
^ | sin 2я 2ht — sin 2я 2ht0 \ dt < |
2я 2h ^ 11—10 \ dt < |
||||
|
“m |
|
|
|
“m |
|
|
|
< 2я 2'* (Pm - |
amr = 2я | i |
(Pm - aJ . |
|
|
Теперь вместо |
|
|
|
|
||
|
|
• m |
|
m |
|
|
|
|
P, |
/«)<*<= |
2 |
v . « . ) |
|
мы получим |
|
|
|
|
||
|
J — |
C / (<) dt - 2 |
sin 2я 24 |
< 2 1c'<i |
2я |
|
|
p. г— «m |
0 |
|
|
, |
2m-h ’ |
БОРЕЛЬ И ПОСЛЕ НЕГО |
51 |
атак как сп—» 0 при п ~ >со (вспомните, что 2 си < 00)> то
т |
2я |
|
|
И т 2 С/, |
= 0, |
||
2>n-h |
|||
оо |
|
этого достаточно для завершения доказательства. Только что доказанная теорема о сходимости ряда
00
2 ск sin 2п 2kt
1
является фактически частным случаем известной тео ремы Колмогорова о том, что сходимость
СО
2 <*< со
влечет за собой сходимость почти всюду ряда
ОО
2 chsin 2я nht fe=t
при условии существования числа q, для которого
Лп ± > д > \ .
пк
Колмогоров при доказательстве использовал сущест венным образом то, что рассматриваемый ряд является тригонометрическим. Однако, обобщив аргументацию Палея — Зигмунда, можно доказать следующую зна чительно более общую теорему.
4*
52 |
|
ГЛАВА 2 |
|
|
Если функция |
g (t) — периодическая с периодом I |
|
и если |
|
|
|
(a) |
|
J g (*)<« = О, |
|
|
|
о |
|
(б) |
\ g { t ' ) - g { t " ) \ < M \ t ' - t " \ \ |
0 < а < 1, |
|
то |
сходимость |
влечет за собой |
сходимость почти |
всюду ряда |
|
|
|
ОО
2 СкёШ),
1
где целые числа пк таковы, что
Доказательство этого утверждения из-за нескольких технических трудностей не будет здесь воспроизведено, хотя по существу никакой новой идеи, сверх принад лежащей Палею и Зигмунду, не требуется.
Какой вывод можно сделать из разобранного при мера? На вид случайный факт, заключающийся в том, что
rh (t) = sgn sin 2я2,‘~1£,
наводит |
на мысль, |
что здесь могут |
быть проведены |
|
аналогии между |
rk (t) |
и sin2n2ft~1£. |
Так как rh(t) |
|
имеют |
определенную |
вероятностную |
интерпретацию, |
|
то этим открывается путь к установлению связи между игрой «герб или решетка» и математической областью,
КОРЕЛЬ И ПОСЛЕ НЕГО |
53 |
где нет понятий случая и вероятности, монет и чего бы то ни было подобного. Могло ли это быть достиг нуто, если бы мы настояли на абстрактной трактовке игры «герб или решетка»? Может быть, но я сомне ваюсь.
6. Пример 2. Расходимость ряда со случайными знаками. Что происходит с рядом
|
|
СО |
± Cfc, |
|
|
|
2 |
|
|
если |
/l=l |
|
|
|
00 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2 сё = со? |
(6.2) |
|
|
|
1 |
|
|
На |
это можно |
ответить, |
что ряд |
(6.1) расходится |
с |
вероятностью |
1. Доказательство |
крайне просто. |
|
Заметим, во-первых, что наша задача состоит соб ственно в определении меры множества сходимости ряда
I ]ckrh(t) |
(6.3) |
при условии (6.2). Во-вторых, |
множество сходимости |
ряда (6.3) должно иметь меру или 0, или 1 (частный
случай так называемого |
закона |
нуля или единицы). |
||
Вспомним, |
что |
|
|
|
|
rk (0 = |
ri |
1)х), |
|
х) Здесь |
подразумевается, |
что |
rfl (г) определены таким |
|
образом, чтобы они были периодичпы с периодом 1. Другими словами, rh (t-\-\) = rh (t).
54 ГЛАВА 2
и, следовательно, вместе с t множеству сходимости
принадлежит |
и |
|
|
при I — 0, 1, |
2, . . . . |
t заменить на t-\- 2~‘, то |
|
Действительно, |
если |
||
в (6.3) изменится лишь |
конечное число членов, а это |
||
не может повлиять |
на |
сходимость. Таким образом, |
|
характеристическая |
функция множества сходимости |
||
имеет произвольно малые периоды, и по известной теореме она должна быть постоянна почти всюду, причем эта константа равна или 0, или 1 г).
i) Для ограниченной измеримой (следовательно, инте грируемой по Лебегу!) функции cp(f) доказательство следую щее: имеем
1 |
2*-1 |
(h+l)/2l |
|
(M-1V21 |
tp(i)d/. |
/=^ф(«)с^ = ^ |
^ |
(f(t)dt — 2l ^ |
|||
О |
fc=0 |
fe/2i |
|
fe/2< |
|
Пусть <o таково, |
что при kill1< г0 |
l)/2( |
|
||
|
|
( h , - H ) / 2 1 |
|
|
|
|
lim 2l |
|
cp(i)d<= cp(i0). |
|
|
|
(—►CO |
h,/21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По фундаментальной теореме анализа (см. п. 5) почти каждое ta имеет такое свойство. Таким образом, <р (<0)= / для почти каждого f0. Если ф (t ) не предполагается ограниченной, то те
же аргументы применимы к ei4>^K Это доказательство пред
ложено Гартманом и Кершнером; теорема была доказана сна чала более сложным способом Бурстиным. Характеристичес кая функция множества сходимости ряда из измеримых функ ций измерима, так как измеримо само это множество.
