Файл: Касаткин В.Н. Азбука кибернетики.pdf

Х ^ о г 7 : Б р д у й № Д Ё 5 Л 5 Т э 7 о Г о . Э - г о с д г Ё л д д г С м и т .

Смйт: Я 1гв ^ЕУтдл этого.

Эго едслдл Кр^ул.

б протоколе было указано, что один из подозревае­ мых всеми уважаемый старик и он оба раза сказал правду, второй известный мошенник и он оба раза солгал, третий подозреваемый ничем не примечатель­ ный житель города, и одно из его высказываний было истинным, а второе ложным».

Попробуй, не привлекая других данных из прото­ кола, выяснить, кто совершил убийство, как звали всеми уважаемого старика, как звали мошенника и ничем не примечательного жителя города?

Но не только для решения задач можно исполь­ зовать алгебру высказываний. Вот еще одно ее при­ менение.

Наблюдатель рассматривает числа, записанные на длинной бумажной ленте, медленно проходящей пе­ ред ним. У наблюдателя имеется инструкция, в со­ ответствии с которой он должен вычеркивать некото­ рые из чисел, записанных на ленте.

Вот эта инструкция:

«Вычеркивайте числа, которые одновременно де­ лятся на 3, оканчиваются нулем и имеют сумму цифр, большую 31. Необходимо вычеркивать и те числа, которые не делятся на 3, оканчиваются нулем и сум­ ма цифр не превышает 31, или же те числа, которые оканчиваются нулем и делятся на 3, но сумма цифр в них менее 31. Необходимо вычеркивать и числа,

64

оканчивающиеся нулем, с суммой цифр большей чем 31, но не делящиеся на 3. И наконец, это последнее требование инструкции, вычеркивайте числа, крат­ ные 3, не оканчивающиеся при этом нулем и сумма цифр которых больше 31».

Не правда ли, длинная и запутанная инструкция? Попробуем составить формулу этой инструкции, этого весьма сложного и запутанного высказывания.

Пусть высказывание —

5 5 ^ 4 С Л О Д Е Л И Т С Я Я д 3 ' А

От п е л о

^№ 0 ИВГ-ЕСЙТ

-Ц-Ифр,-ВОлъйую 31^ - С

Тогда формула сложного высказывания инструк­ ции имеет вид:

Я,=АВС+АВС+АВС +АВС+АВС

Попробуйте ее теперь упростить. Если ты все сде­ лаешь верно, то ответ будет таким:

ЗС2=В+АС

5 В. Касаткин

Прочтем эту новую инструкцию:

«Вычеркивайте числа, оканчивающиеся нулем, или числа, кратные 3, с суммой цифр, большей чем 31».

В том, что высказывания X : и Хг эквивалентны, убедись с помощью таблицы истинности.

Не правда ли, интересное применение новой алгеб­ ры? От запутанной инструкции к очень краткой и понятной. Прочти еще раз эти абзацы.

Такая перефразировка мысли имеет специальное название — м и н и м и з а ц и я . Минимизация — большой и важный раздел алгебры высказываний. Следует обязательно познакомиться с лучшими спо­ собами минимизации, их существует несколько *.

* Смотри приложение.

66

ЛОГИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ —

КЛЕТКИ МОЗГА „УМНЫХ“ МАШИН

¡^#ная истинность высказываний А и В, ты умеешь находить истинность их логической суммы, истин­ ность их логического произведения. Зная истинность любого высказывания, сможешь ты найти и истин­

ность его отрицания.

Алгебру высказываний можно рассматривать и как алгебру сигналов, ведь о каждом высказывании нам нужно знать только то, что оно истинно или ложно. В алгебре сигналов складываются, умножают­ ся и отрицаются сигналы об истинности высказы­ ваний.

Можно ли такую работу над высказываниями поручить машине? Может ли машина складывать, умножать и отрицать сигналы в соответствии с пра­ вилами алгебры высказываний?

Да, можно. Устройства, которые умеют «умно­ жать», «складывать» и «отрицать» сигналы, называ­ ются

•1

Самый простой из логических элементов — эле­ мент для совершения операции отрицания. Этот эле­ мент называется элементом «Н Е », или

1/1ЙВЕрТО]ЭОТУТ

Условимся в дальнейшем на схемах элемент «Н Е » обозначать так:

Если на входе элемента имеется сигнал, то это означает, что элементу предлагается совершить отри­ цание истинного высказывания. Отсутствие сигнала на входе означает, что элемент совершает отрицание ложного высказывания.

72

Если нажать кнопку А (это будет означать пода­ чу на вход элемента истинного высказывания), то по катушке реле потечет ток, контакты реле «а» разомк­ нутся и горевшая до этого лампа (X ) погаснет — иначе говоря, сигнал на выходе элемента «Н Е » ис­ чезнет.

При ненажатой кнопке А сигнал на выходе эле­ мента есть (лампа горит).

Рассмотри схему: ..

У

73

На входе первого элемента имеется сигнал. Что можно сказать про сигнал на выходе всей схемы? Че­ му равен X ?

Попробуй составить электрическую схему, соответ­ ствующую только что рассмотренной.

Устройство, которое образует логическое произве­ дение, называется логическим элементом «И». Эле­ мент «И» на схемах изображаться будет так:

А

Ъ

А и В — входы элемента, X — выход его. Сигнал на выходе элемента — сигнал об истинно­

сти произведения АВ должен появиться только при одновременном наличии сигналов на входах А и В (при одновременной истинности высказываний — со­ множителей).

74

Такая работа над сигналами обеспечивается устройством с такой электрической схемой:

Действительно, сигнал на выходе элемента по­ явится тогда и только тогда, когда нормально разом­ кнутые и последовательно включенные контакты «а» и «в» окажутся оба замкнутыми.

Если хоть одно из участвующих в операции логи­ ческого умножения высказываний ложно (в этом слу­ чае одна из кнопок А или В не будет нажата), сиг­ нала на выходе X не будет, что и будет означать ложность произведения.

Рассмотри схему;

Будет ли сигнал на выходе X , если А — 1, В — О?

Еще одна схема для исследования;

Что можно сказать о сигнале на выходе схемы, если А = 0 и В = 1?

Что можно сказать о сигнале на выходе этой же схемы, если А = В = 1?

Последний контрольный, вопрос.

Можно ли утверждать, что на выходе устройства

76

сигнал появится только при одновременном отсутст­ вии сигналов на входах?

«ИЛИ».

Вот его условное изображение:

77

При наличии сигнала на любом одном из входов или на двух одновременно сигнал должен иметься и на выходе.

Электрическая схема элемента «ИЛИ »:

Контакты реле «а» и «в» включены параллельно, поэтому для загорания лампочки (X ) достаточно замыкания любого одного из них или обоих сразу.

Дана схема:

78