Файл: Касаткин В.Н. Азбука кибернетики.pdf

Даны высказывания: *

И й Т # В Д К Т т з ^ в т о в у о я - Л . * 6

5 , П в г # ^ т-з е г К Ш г у - В “

55 1 г е т $ г З э д е в и < ? г ь г в н Е т - С 6<

Зная эти обозначения, попробуйте прочесть сле­ дующие высказывания, заданные в виде формул:

X - А В С

Х= А ’ В)-С

Х= А В *С X А В С

X - А В С |

43

Посмотри, как это можно сделать на примере. Пусть дано высказывание:

З Г =А В С

Вот как можно расшифровать формулу данного вы­ сказывания:

„П & Т Я - &Е Е Д Е Т В /1 8 ТО-

в Т с в и ; ь № й ц е в 1 1 е т ы в д д г ,

Чм ' г д к х к в г и ц г сс.

£щ е одно небольшое упражнение

Составьте формулу для высказывания:

Э З ^ В Е Р И О , § Т О 1^В^Г5Г

.ЕДЕТ В ЗСВ^ОБ^ОЕ

кй д е в к е т ь Е в д н т и

Х=АС

Нужно хорошо научиться уверенно и безошибочно составлять формулы сложных высказываний.

44

ТАБЛИЦЫ ИСТИНЫ И ЛЖИ

Л^Ще раз возвратимся к задаче определения истин­ ности сложных высказываний. Пусть какое-ни­

будь сложное высказывание дано нам в виде фор­ мулы:

Это высказывание есть логическая сумма выска­ зываний «А » и «В».

Рассмотрим таблицу:

п а и м

ОШ ВО]

Наше данное сложное высказывание «X » трижды равно «1», то есть истинно, и только один раз ложно

(при А = 0 и В = 1).

Такие таблицы составляются для выяснения ис­ тинности самых сложных высказываний, заданных в виде формул. Эти таблицы принято называть таб­ лицами истинности.

Составьте таблицу для высказывания:.

45

В этий таблице будут такие колонки:

Постарайтесь ответить на вопрос: при каких зна­ чениях А и В все данное высказывание У ложно?

Что ты можешь сказать об истинности таких сложных высказываний:

к

У =В В

Это примеры особых высказываний. Первое из них тождественно-истинное, а второе — тождествен­ но-ложное.

Первое высказывание всегда истинно, независимо

45

нии «В». Такие высказывания мы будем обозначать нулем — «О»,

СВОЙСТВА ЛОГИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ

Ж# аждая из рассмотренных нами логических one- * раций алгебры высказываний обладает определен*

ными свойствами.

Логическое сложение, например:

А+ В = В+А

—от перемены порядка высказываний истинность их логической суммы не меняется.

(Это переместительное свойство, как и у обычно* го сложения.)

А+ (В + С) =(А +В)+С

—а это сочетательное свойство — оно также имеется и у обычного сложения,

А+ А +А + ... + А = А

—а это уже необычное свойство: истинность сум­ мы не меняется, если высказывание повторить не­ сколько раз.

47

1 + 1 = 1

А + 0 = О

— проверь с помощью таблицы истинности.

Авот сводка свойств логического умножения:

АВ = В А

А( Б С Ы А В ) С

А • А ■А . . . А = А

А • 1 = А

А - 0 = 0

А это свойства операции «отрицание»:

А = А; А+А= 1; А • А = 0

Все три операции связаны между собой распреде­ лительными свойствами; как и в обычной алгебре, умножение (логическое) обладает распределительным свойством относительно сложения (логического):

А (В+С)= АВ+АС

Но в алгебре высказываний имеется «чудо». Ока­ зывается, что распределительным свойством облада­ ет и логическое сложение относительно логического умножения:

а + в с = ( а + в )(а + с )

Чтобы убедиться в этом, составим таблицу истин­ ности. Вот как она выглядит для данного случая:

Д в с ва д+вс д-в 1 1

10

то 1

4 0 О

0

0 1 О

0О

ОО О

Заполни эту таблицу и сравни 5-ю и 8-ю колон­

и другим. Эквивалентные высказывания можно соеди­ нять знаком. « = » .

Это важный тип высказываний.

Рассматривая свойства логического умножения, ты уже, наверное, заметил, что оно обладает всеми свойствами «умножения чисел». Одинаковость в свой­

50

«Отрицание логического произведения двух выска­ зываний эквивалентно логической сумме отрицаний &тих же высказываний».

Вторую формулу прочти самостоятельно.

Помни, что число простых высказываний, участ­ вующих в таких формулах, может быть большим, не­ жели два:

АВСД... К=А+ В+С +Д+...+К

А + В+ + К = АВС • • • • К

Следующие формулы упрости так, чтобы в полу­ ченных формулах не содержались отрицания слож­ ных высказываний.

Х - А В + В

2 = А С + В С

52

КТ с л о ж н о г о К ПРОСТОМУ*

ЖЖтак, ты познакомился с основными свойствами операций «логическое сложение», «логическое

умножение» и «отрицание». Как же их можно ис­ пользовать?

Прежде всего формулы сложных высказываний можно рассматривать как своеобразные многочлены алгебры высказываний, и, как в обычной ал­ гебре, с этими многочленами можно проводить все действия.

Но так как в алгебре высказываний свойства опе­ раций не совсем совпадают со свойствами обычной алгебры (вспомни, например, что имеется второй рас­ пределительный закон А + ВС = (А + В). (А + С), то и преобразования формул будут несколько своеоб­ разными.

Прежде всего следует научиться упрощать форму­ лы сложных высказываний. Что значит у п р о щ а т ь ?

Условимся под упрощением понимать такое преоб­ разование данной формулы, в результате которого формула должна содержать как можно меньше букв и не содержать отрицаний сложных высказы­ ваний.

Вот как это делается — рассмотри несколько при­ меров.

* Смотри также и приложение.

53