Файл: Касаткин В.Н. Азбука кибернетики.pdf

X = А + АВ, то есть пример, рассмотренный только что. Следовательно:

Формулы (1) и (2) следует запомнить — иногда упрощение, проводимое по этим формулам, называет­

ет другие слагаемые, в которые оно входит сомно­ жителем, — так можно раскрыть содержание фор­ мулы (1).

Попробуй аналогично раскрыть содержание фор­ мулы (2).

Еще две полезные и часто используемые при упро­ щении формулы:

54

(3)

(А+В)(Д+В)=А

Доказательство справедливости этих формул про­ веди сам — это можно сделать, привлекая таблицу истинности. Упрощение, проводимое по этим форму­ лам, часто называется с к л е и в а н и е м .

Упрости:

Х= АВ+А X =АВ+АВС

ЗС=А+АВ ЗС =А +АВ +В

ЭС=АВ + А ЭС=АВС+АВС+ Х=А+ДЙ АВС+АВ

Сверь свои ответы с данными в конце книги.

55

РАССКАЗ КИВЕРА

*Л то событие произошло в Стрелецкой бухте, вблизи развалин древнего города Херсонес.

Здесь под Севастополем расположился лагерь Ма­ лой академии наук школьников Крыма «Искатель». Вместе с математиками, физиками, химиками и аст­ рономами в лагере отдыхали и занимались юные лю­ бители кибернетики из различных городов Крыма.

Как всегда, лагерный сбор завершался научной конференцией — подготовили свои сообщения и ки­ бернетики.

— Предлагайте любую формулу, возможную в ал­ гебре высказываний, и наш автомат ее упростит, — такими словами начала свое сообщение действитель­ ный член МАН ялтинская школьница Оля Коробицша.

Как, удивился я, разве можно такую работу, где требуется немало смекалки и опыта, поручить машине?

Да, оказывается, можно, Оля убедила всех в ре­ альности предлагаемого проекта, который она разра­ ботала вместе со своей подругой Людой Корчагиной.

— Жаль, что нам не удастся построить этот авто­ мат, — продолжала Оля, — мы уходим из школы, но, может быть, найдутся ребята и смогут его изго­ товить.

И автомат изготовлен. Недавно я был на ВД Н Х в Москве и видел в действии этот автомат. Его изго­ товили симферопольские восьмиклассницы Люба Буд­ никова и Вера Костина.

Такого автомата еще не делал никто. Это удиви­ тельный автомат — ведь за формулой алгебры выска­ зывания скрывается умозаключение, иногда очень сложное, — и автомат помогает его высказать более кратко и четко. Машина, помогающая выражать мысль, — отличный успех юных кибернетиков.

53

IIервым применением алгебры высказываний, с ко­ торым ты познакомишься, будет решение логиче­ ских задач и анализ некоторых простейших умоза­

ключений.

Обычно решение логических задач требует немало смекалки — алгебра высказываний облегчит тебе ик решение.

Г л ав а

Он записал предположение, что командиром ко­ рабля будет Сергеев, Матвеев не будет физиком, а Алексеев, утвержденный радистом, командиром ко­ рабля быть не может.

Позже выяснилось, что только одно из этих ут­ верждений оказалось верным.

Какие обязанности на корабле выполняли Сергеев, Матвеев и Алексеев?»

Эту задачу мы предлагаем тебе решить самостоя­ тельно.

Решил?

А теперь познакомься с тем, как решают такие задачи с помощью алгебры высказываний.

КТО ЧЕМ ПИОН М ИРА?

Еще одна задача: «Идет чемпионат школы по гим­ настике. Болельщики горячо обсуждают ход борьбы и высказывают немало предположений о будущих победителях.

Один из любителей гимнастики считает, что пер­ вой будет Наташа, а Майя будет второй.

Другой из болельщиков на второе место прочит

•Лиду, а Рита, по ею мнению, самая слабая — ей он отводит четвертое место.

Третий любитель спорта с ними не согласился.

Он считает, что Рита займет третье место, а Наташа будет второй.

59

Эти формулы можно назвать логическими урав­ нениями — они содержат высказывания, для которых мы разыскиваем их значения (истинность).

Высказывания (1), (2) и (3) правильно отража­ ют события на чемпионате — именно так все там и происходило. Если из этих грех высказываний обра­

зовать логическое произведение, то оно будет истин­ ным.

Так и поступим. Вот это произведение:

(Н1Мг+Н1М2)(Л2Р4+Л2Р4)(Н2Р3+

н2р3) = 1

Умножим сначала вторую скобку на третью.

Лг Р4НгР3+Л2Р4Н2Р3+ Л2Р4Н21+

Л2Р4Н2Р3= 1

61

Первое слагаемое

Л2Р4 Н2 Р3= 0 т.к. Л2 Н2 = 0

— на втором месте Наташа и Лида одновременно не были.

Четвертое слагаемое

также ложно (равно 0), ибо

Р 4 Р3 = 0

так как Рита заняла какое-то одно место, а не два одновременно.

Н М Л 2Р4 Нг Р3+ н м Л 2Р4Н2Р3+

Н М Л 2 Р4 Н2 Рз+Н 1М2Л2Р4 Нг ^ = 1

62

В этом сложном высказывании нулю равны (лож­ ны) второе, третье и четвертое высказывания. (Объ­ ясни почему.)

Первое высказывание истинно:

Н1М2Л2Р4Н2Р3 = 1

Прочтем его:

последнее — четвертое место.

Теперь необходимо обязательно проверить, соот­ ветствует ли решение задачи условиям ее. Определи, кто из болельщиков что угадал.

А вот задача, при решении которой ты сможешь проверить, научился ли ты решать логические задачи:

«При составлении расписания уроков в школе учи­ тель математики просил, чтобы его урок был первым или вторым; историк мог давать либо первый, либо третий уроки, а преподаватель литературы — только второй или третий.

Как следует составить расписание чтобы удовле­ творить требования всех учителей? Сколько вариан­ тов расписания может бытьР»

Еще задача:

«Совершено убийство. Подозрение пало на троих: Брауна, Джона и Смита. В процессе расследования каждый из них сделал по два заявления;

БрлОД . Я НЕ ДЕЯДЛ ©ТОГО.

Д^гой Не дйядя ©того.

63