Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 595
Скачиваний: 2
Распределения вероятности и выборочная статистика 49
(среднее квадратическое отклонение всегда положительно), тогда
как отрицательное значение aXY |
означает, |
что большие |
значения |
|
одной величины связаны |
с малыми |
значениями |
другой. |
|
На фиг. 2.2.4 приведены |
графики со значениями коэффициента |
|||
корреляции, равными 0, |
1 и — 1 . |
|
|
|
Пример 2.2.5. Коэффициент корреляции
Пусть совместная плотность распределения вероятности двух случайных величин X и Y задана в виде
р (х, у) = X + |
у, О < X < 1, 0 < Y < 1, |
р (х, у) — О в остальной |
области. |
Требуется найти коэффициент корреляции.
Решение
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
Ѵ-х = |
j j |
x(x |
+ y)dx |
dy = ^2 |
, |
|||
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
Ц г = |
j |
j |
y(x + y)dxdy |
= ^2 . |
||||
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
V>X2= о^ 0j |
x*(x + y)dxdy |
= -c£=HY2, |
||||||
<Ухт = Ш{(Х-Ѵх) |
l |
(Г12 -IМ}~ |
144=' |
|
||||
так как |
|
î |
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
g { X Y } |
= |
j |
\xy{x |
+ |
y)dxdy |
= |
± . |
|
Тогда |
|
о |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
QxY |
144 _ |
|
1 |
|
||
|
|
o x 0 " / _ |
|
11 ~ |
~ |
11 |
|
|
|
|
|
|
|
144 |
|
|
|
Полученный результат указывает на слабую корреляцию меж ду X и У .
В табл. 2.2.1 приведены все рассмотренные до сих пор характе ристики ансамбля.
50 |
|
|
|
Глава |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2.2.1 |
|
|
|
Характеристики |
ансамбля |
|||||
Обозначение |
Название функции |
|
|
Математическое ожидание |
|||||
Ѵ-х (0 |
Среднее |
значение |
% {X |
(t)} |
|
||||
Ѵх% (0 |
Среднее |
значение |
%{Х* |
(t)} |
|
||||
|
|
квадрата |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д и с п е р с и я |
|
% ах ю-их |
m |
||||
°x{t) |
|
Среднее |
квадратиче- |
|
|
|
|
|
|
|
|
ское |
(стандартное) |
|
|
|
|
|
|
|
|
отклонение |
|
|
|
|
|
|
|
Vx(t) |
|
Относительное |
откло |
ѵх |
(t)lvx |
(0 |
|||
|
|
нение |
(коэффициент |
|
|
|
|
|
|
|
|
вариации) |
|
|
|
(tj) X |
|
||
ГХХ (*) |
Автокорреляция *) |
% {X |
ш |
||||||
rXY |
(l) |
К о р р е л я ц и я 1 ) |
|
%{X{h)Y(t2)} |
|
||||
°XX |
(t) |
Автоковариация х ) |
% {IX ( t t |
) - И х (h)}[X (*2> — |
|||||
aXY |
(*) |
К о в а р и а ц и я х ) |
|
% {X (t,) - |i* (ti)] [У (*a)-|iy ( Ш |
|||||
PXY ( 1 ) |
Коэффициент |
корре |
°XY |
(WX |
|
(0) «У (0) |
|||
ля ц и и г )
1)Для стационарных функций. (В отечественной литературе ajc^(t) называют авто
корреляционной или просто корреляционной функцией, a Onçy—взаимной корреляцион
ной функцией. Функции гхх(т) и rxY (Т) используются реже.—Прим. ред.) |
|
|||||||
|
2.2.6. |
Моменты |
случайной |
величины |
|
|||
Моменты случайной величины имеют аналогию в механике. |
||||||||
Так, первый статический |
момент равен произведению |
массы |
||||||
на плечо, |
а центр тяжести |
определяется |
как |
отношение первого |
||||
момента к |
массе. Как среднее |
значение, |
так |
и |
дисперсия |
пред |
||
ставляют |
собой моменты, в которых весовой |
функцией является |
||||||
плотность |
распределения |
вероятности. |
Среднее |
значение — это |
||||
начальный |
момент, |
а дисперсия — центральный |
момент. |
Инва |
||||
риантные |
по времени моменты |
порядка |
п для одной случайной |
|||||
величины приведены в табл. 2.2.2. Центральный момент третьего
порядка |
служит |
мерой |
симметрии |
распределения |
случайной |
||
величины относительно |
ее |
среднего |
значения; центральный |
||||
момент |
четвертого порядка |
характеризует |
остроту |
максиму |
|||
ма моды. |
|
|
|
|
|
|
|
Д л я |
двух непрерывных (не зависящих от времени) |
случайных |
|||||
величин |
моменты |
определяются следующим |
образом: |
|
|||
|
|
о о |
о о |
|
|
|
|
Цц= |
[ [ х\х{р(хі, |
х2)аххах2. |
(2.2.15) |
Таблица 2.2.2
Начальные и центральные моменты случайной величины, не зависящей от времени
Непрерывная величина |
Дискретная величина |
Момент |
Начальные моменты
х°р (x) dx = l
хр {x) dx = Цх
х2р (x) dx = u.jf 2
хпр (x) dx = }Xj£n
(x — nx)°P(x)dx |
= l |
|
(x — |
y,x)p(x)dx=:0 |
|
>
(x — ]ix)%P (x) dx = a x
і = 1
2 Я{Р(Ж{) = ЦХ
г = 1
2*?і> (гО = І*Л
і= 1
i= 1
Центральные моменты
оо
S(*і-ц*)°*(*і)=і
i= 1
S(*і-1*х)Р(ая) = 0
i= 1
2 |
(xi-Vx)2P{xi) |
= «x |
i = |
1 |
|
[igt момент н у левого п о р я д ка
щ, момент пер вого порядка (среднее зна чение X)
\iz, момент вто рого п о р я д к а
ц п , момент по р я д к а n
qMq, момент нулевого по рядка
oM\, момент первого по р я д к а
оМ2, |
момент |
|
второго |
по- |
|
ряда |
(диспер |
|
с и я |
X) |
|
(х—\іх)пР |
(x) dx |
i= 1 |
ѣп, |
момент |
порядка п |
||||
4*
52 Глава 2
В центральных моментах весовая функция интегрируется с про
изведением |
(ХІ — |Xj)1 |
(х2 — ц2У вместо |
х\х\. |
Например: |
|||||
|
|
о о |
о о |
|
|
|
|
|
|
u I 0 |
= |
j |
j |
х\х\р(хи |
xz)dx%dxi |
= \Lxi = |
%{Xi}, |
||
|
|
— оо — о о |
|
|
|
|
|
||
|
|
CO |
о о |
|
|
|
|
|
|
М-01 = |
j |
[ |
х\х\р(хи |
х2) dx2dxi |
= Цх2 |
= |
Ш{Х2}, |
||
|
|
— о о — о о |
|
|
|
|
|
||
|
|
о о |
о о |
|
|
|
|
|
|
Н<н= |
j |
j |
x\x\p(Xi, |
x2)dx2dxi |
— |
%{XiX2}, |
|||
|
|
— oo — oo |
|
|
|
|
|
||
|
|
oo |
oo |
|
|
|
|
|
|
eMn= |
j |
j |
fo |
— ІХл-і)1 ^ — U . ^ ) 1 / ? ^ , |
s2 ) dar2 ЙЖ, = |
||||
|
|
— oo |
— o o |
|
|
|
|
|
|
Пример 2.2.6. Моменты |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Покажем, что момент |
второго порядка |
относительно |
значения |
||||||||||
x — с больше |
центрального |
|
момента |
второго |
порядка. |
|
|||||||
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
% {(X - |
с)2 } - |
ЩХ |
- |
и,х + |
ц х |
- с)2 } = |
|
|
|
|
|||
|
= Щ{(Х - |
^ х ) 2 |
} + |
2${(Х - |
рх) (и,х - |
с)} + |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
+ |
% {(Ѵх - |
с)2 } = |
оМг + |
(Их - с)2 . |
||
Заметим, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
Ш{(Х - рх) |
( ц х |
- |
с)} = |
hix |
- с) Ц(Х - |
и.х )} =0 , |
||||||
так как t = |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.3. Н О Р М А Л Ь Н О Е |
Р А С П Р Е Д Е Л Е Н И Е |
В Е Р О Я Т Н О С Т И |
|||||||||||
|
|
|
И Р А С П Р Е Д Е Л Е Н И Е х2 |
|
|
|
|||||||
Рассмотрим |
кратко |
две функции |
распределения вероятности, |
||||||||||
которые часто используются в последующих главах. Более подроб
но со свойствами этих |
распределений можно познакомиться по |
книгам, список которых |
приведен в конце г л а в ы 1 ) . В этом раз |
деле будут изложены основные предположения, касающиеся нор мального распределения и распределения %2, и описаны их основ ные свойства с тем, чтобы можно было надлежащим образом исполь зовать их при анализе экспериментальных данных. Здесь не будут обсуждаться другие инвариантные по времени дискретные и непре рывные распределения, перечисленные в табл. 2.3.1 и 2.3.2.
*) Подробные сведения о ф у н к ц и я х распределения, встречающихся в инженерной п р а к т и к е , содержатся т а к ж е в монографии: Х а н Г., Шапиро С , Статистические модели в инженерных задачах, изд-во«Мир»,1969.—Прим. ред.
