Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 604
Скачиваний: 2
Распределения вероятности и выборочная |
статистика |
81 |
исследуемые характеристики в каждой паре |
были близкими, то |
|
даже если они сильно отличаются от пары к паре, различия |
между |
|
парами не будут влиять на дисперсию средней разности, так как последняя зависит лишь от разностей внутри пар.
2.4.2. Распределение t
Распределение t (или ^-распределение Стьюдента, называемое так потому, что было опубликовано В. С. Госсетом под псевдони мом «Стыодент») используется при проверке гипотез и при нахож дении доверительных пределов для средних значений. Эти вопросы
pit)
= оо
fr3
III0'2
-4 -3 |
•2 |
-1 |
1 |
і ^ С г ^ |
З |
О |
|
|
|||
|
|
|
{ |
|
|
Ф и г . 2.4.4. Плотность |
^-распределения |
вероятности |
Стьюдента. |
||
будут рассмотрены в гл. 3. Случайная переменная t пред ставляет собой отношение двух независимых случайных пере
менных — нормированной |
нормальной |
переменной U и У%й/ѵ: |
||
U |
и |
|
(2.4.13) |
|
t = -\/у?/ѵ |
sxl°x |
ахП/п |
||
sx/°x |
||||
где^Х — выборочное среднее значение, a sx — выборочное среднее квадратическое отклонение. Плотность распределения вероятно сти величины t равна
^ ) = W ^ W - ( 1 + T ) 2 < - « < « « > > . <2 -4 -1 4 )
где V — число степеней свободы, связанное с sx. На фиг. 2.4.4 приведены графики p {t) для различных степеней свободы ѵ.
82 |
|
|
|
Глава |
2 |
|
|
|
И з | ф о р м у лы |
(2.4.13) |
видно, |
что при вычислении |
t используется |
||||
выборочное |
среднее |
квадратическое |
отклонение |
X, |
тогда как |
|||
при |
вычислении U |
должно |
быть |
известно значение |
ах. |
|||
В |
пределе |
при ѵ |
оо плотйость |
распределения t |
стремится |
|||
кнормированной плотности нормального распределения, что
можно |
увидеть из формулы (2.4.14) при очень |
больших ѵ. |
На |
фиг. 2.4.5 показано распределение накопленной вероятно |
|
сти t. |
Таблицы этого распределения имеются |
практически во |
Ф и г . 2.4.5. Распределение накопленной вероятности t.
всех пособиях по статистике и в приложении В этой книги1 ) . Распределение t определяет вероятность того, что значение t меньше или равно, чем некоторое выбранное значение t:
t*
Р (*) = /> {*<**} = J P(t)dt.
— оо
В некоторых таблицах для каждой степени свободы ѵ приведена вероятность получения значения t, большего по абсолютной величине чем указанное в таблице. Другие таблицы учитывают свойства симметрии распределения t и содержат лишь вероятность получения значения t, большего чем указанное в таблице. В каче стве примера приведем часть таблицы В.З, в которой представлена
Р (t) == Р {t < t*} для v = 5:
P(t) |
0,75 |
0,90 |
0,95 |
0,975 |
0,99 |
t |
0,727 |
1,476 |
2,015 |
2,571 |
3,365 |
!) Более полные таблицы можно найти в [9—11].
Распределения |
вероятности и выборочная статистика |
83 |
Из этих значений видно, что 95% площади под кривой плотности распределения вероятности заключено между значениями t от —2,571 до +2,571, а 5% площади лежит (симметрично) вне этого интервала (фиг. 2.4.6).
pit)
|
|
\ |
/95%. |
площади |
|
|
|
2,5 % площади |
|
\ |
2£ Z |
площади |
|
||
|
-2,57t |
О |
2,571 |
t |
|
|
|
Ф и г . 2.4.6. Графическая интерпретация таблиц |
^-распределения |
Стьюдента |
|||||
|
для V = 5. |
|
|
|
|
||
Пример 2.4.3. Распределение |
t |
|
|
|
|
|
|
Требуется |
найти значение |
если для ѵ = |
10 |
справедливо |
|||
соотношение |
Р {—-2 ^ t ^ |
= 0,25. |
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
t |
|
По табл. В.З приложения |
В для распределения |
находим, |
|||||
что P {t < 2} « 0,96; следовательно, P {t > 2} « |
1—0,96 = 0,04. |
||||||
р(і)
|
|
Ф и г . П . 2 . 4 . 3 . |
|
|
С учетом симметрии P {t ^ |
—2} = 0,04. Полная площадь от — оо |
|||
до |
|
равна Р = 0,04 + 0,25 = 0,29, что соответствует Р |
t*} = |
|
= |
0,29. Снова используя |
симметрию, получаем Р { £ >• — i*}« |
||
« |
1 |
— 0,29 = 0,71 и по |
табл. В.З находим |
значение |
U |
= |
—0,56. |
|
|
84 |
Глава 2 |
2.4.3.Распределение отношения дисперсий
Распределение отношения дисперсий, исследованное Р. А. Фи шером (обычно обозначается F), оказывается весьма полезным в дисперсионном анализе и при построении моделей, что будет обсуждаться в последующих главах. Если взяты две выборки, причем одна из них состоит из nt независимых измерений случай ной переменной Хи распределенной по нормальному закону со
1,0
|
о |
1,0 |
2,0 |
3,0 |
4,0 |
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
Ф и г . |
2.4.7. Плотность |
распределения |
вероятности F д л я |
р а з л и ч н ы х зна |
|||
|
|
чений ѴІ |
и ѵ 2 . |
|
|
|
|
средним значением |
и дисперсией а\, а другая — из п2 |
незави |
|||||
симых |
измерений случайной |
переменной |
Х2, также распределен |
||||
ной по нормальному |
закону с параметрами |я2 и а\, |
то случайная |
|||||
переменная F определяется |
следующим |
образом: |
|
|
|||
|
|
|
= Ц |
|
|
(2.4.15) |
|
c'vj = |
ni — 1 и ѵ 2 = |
п2 — 1 степенями свободы. Степени |
свободы |
||||
числителя и знаменателя, связанные соответственно с s] и s2, могут отличаться от п — 1, если выборочные дисперсии вычис ляются по некоторой формуле, отличной от (2.4.2). Если <з\ = = а\ = о*2, то, используя соотношение (2.4.10), можно выразить
величину F |
через %2: |
|
|
^ ѵ „ ѵ 2 ) = | = | £ . |
(2.4.16) |
Первое число в аргументе F означает степень свободы числителя |
||
выражения |
(2.4.16). |
F, Р (F) = |
Таблицы |
распределения накопленной вероятности |
|
— [ Р (F) dF, даны в приложении В (табл. В.4).
