Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 706

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

644 Глава 9

где

 

УІ

 

 

 

 

 

xi

(ty

 

 

 

 

 

 

Уг

 

 

 

 

 

x*(t)

 

 

 

v x 1,

 

 

У =

— матрица

ѵ x 1,

x (t) ••

 

 

•матрица

 

 

ІУѵ

 

 

 

 

 

lxv

(t)_

 

 

 

 

 

 

 

 

а П

А 12

• • •

аіѵ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

&21

А 22

• • • а 2»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а =

I

 

 

 

матрица

v XV.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Предположим,

что смесь

в аппарате,

представленном

на

фиг. 9.1.1, содержит три компонента,

вступающих

в

реакцию

по

схеме

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

АХВХС,

 

 

 

 

 

 

 

где кі — константы скоростей

реакций. Тогда

 

система

уравнений

и

конкретные начальные условия в уравнении

(9.1.5) примут вид

 

 

 

dt

• =

— kiCA,

CA (0) =

1,

 

 

 

 

 

 

dt — kiCA — kzcB,

св (0) = О,

 

 

 

 

 

 

 

d C B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Éî£. — kr

 

ce (0) = 0.

 

 

 

 

Предположим,

что матрица

x (t)

задана априори,

a

величины

i/o и а требуется

оценить

во временном

интервале 0 ^

t ^ tn

по

дискретным наблюдениям, представленным следующим соотноше­ нием:

 

Y (tu

= h (tt)

y (*,) + s (*,). 1 <

i <

»,

(9.1. )

где Y (tt)

— вектор-столбец

и х 1, h (tt) —матрица

n x v,

заданная

априори,

a e (tt)

— вектор-столбец

n

X 1

(вектор

«шума»), элементами которого являются ненаблюдаемые ошибки. Решение модели (9.1.5) можно записать в форме, аналогичной

выражению (9.1.2):

t

У(«) = ѳ х р ( в й ) у 0 + j е х р [ а ( г - т ) ] х ( т ) й т .

(9.1,7)

Оценивание параметров обыкновенных дифференциальных уравнений 645

Например, решение модели

с тремя

 

химическими

компонентами

в реакторе смешения (периодического действия) имеет вид

 

сА

=

e~hlt,

 

 

 

 

 

 

 

Сс

=

1

г

г - {kifi-W

—

kie-k*1).

 

 

 

 

 

/ С 2

— К{

 

 

 

 

 

Подстановка

решения

(9.1.7)

в

соотношение

(9.1.6)

дает

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

Y(*,) = h(*,){exp(a*,)yü+

j

exp [a(*, - t ) ] x ( T ) dx} +

e (*,),

(9.1.8)

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

что можно представить в общей форме

 

 

 

Y

(tt) =

W

(a, уо,

h)

+

e (*,)•

(9-1.9)

Подобное выражение можно написать и для непрерывных наблю­ дений, просто опуская индекс і при t. Хотя соотношение (9. 1 .9) является до некоторой степени формальным, на примере решения, использованного для иллюстрации выражения (9.1.7), можно увидеть, что коэффициенты и начальные условия входят в решение модели существенно нелинейным образом.

Модель, содержащую одно или несколько линейных (по зави­ симой переменной) дифференциальных уравнений более высокого порядка с постоянными коэффициентами, таких, как

можно преобразовать в модель, содержащую систему обыкновен­ ных дифференциальных уравнений первого порядка, следующим образом. Введем обозначения

dy

w=-w

и

dw d2y dt dfi

Следовательно, дифференциальное уравнение второго порядка представляется в виде двух дифференциальных уравнений пер­ вого порядка:

dy

dw

, ,.ч

—

= — atw — а2у + х (t).

646

Глава 9

Однако функция

w в действительности является производной.

Д л я некоторых критериев, обсуждаемых в последующих разделах, использование вышеприведенной схемы требует эксперименталь­

ного

наблюдения значений производной как функций времени

Наконец, общая нелинейная (по зависимым переменным) мо­

дель

первого порядка имеет вид

 

 

-3jr- = f (а, у, t), у(0) = у0,

(9.1.10)

где f (а, у, t) представляет собой весьма общую нелинейную функ­ цию. Уравнение (9.1.10), за исключением редких случаев, не имеет аналитического решения и его следует решать численными мето­ дами. Однако если его решение можно найти, то соотношение (9.1.3) все еще применимо.

9.1.2. Ненаблюдаемая ошибка, добавляемая к производным

Вследствие трудностей получения аналитических решений для детерминированной модели процесса, представленной уравнением (9.1.10), эксперименты должны быть поставлены так, чтобы изме­ рялся вектор производных dYIdt, а не сам вектор Y. В работе [3] проводилось сравнение форм химических реакторов, которые дают возможность экспериментатору наблюдать либо сА, либо dcAldt. Кроме того, в некоторых типах оптических приборов измеряется скорость изменения зависимой переменной, а не сама зависимая переменная. В таких случаях предполагается, что ненаблюдаемая ошибка добавляется к детерминированной производной dy/dt:

dt dt ^

Если наблюдаемой переменной является производная, то процеду­ ра оценивания вообще не затрагивает дифференциального уравне­ ния; параметры и начальные условия можно оценить методами, описанными в гл. 5 и 6.

9.1.3. Дифференцирование

экспериментальных

данных

Другой менее удовлетворительный способ, позволяющий избе­ жать операций с производными при оценивании, состоит в исполь­ зовании численных значений производных, полученных по наблю­ дениям величины Y. Вычисленные производные содержат два основных типа ошибок: ошибки, вводимые при использовании численной схемы, и случайные ошибки, связанные с наблюдениями. Исследуем сначала численную ошибку.

Численное дифференцирование детерминированных перемен­ ных предусматривает вычисление dy/dt или высших производных

Оценивание

параметров обыкновенных дифференциальных

уравнений 647

при некотором произвольном значении независимой

переменной

t, например t0,

по заданному ряду значений у в некотором

интерва­

ле вблизи t0.

В большинстве руководств по численному

анализу

приводятся соотношения, которые можно использовать для вычис­ ления производных по значениям у , взятым через равные или неравные интервалы. Однако даже использование многочленов

it

5>»

 

t

Ф и г . 9.1.4. Аппроксимация

функции у (t) многочленом g (t).

У — g (t) Д Л Я аппроксимации

значений у требует особого внима­

ния потому, что, как видно из фиг. 9.1.4, даже хорошая подгонка многочлена при каждом из значений у может дать неправильный наклон в опорных, а также и в других точках.

Как и следовало ожидать, детерминированная ошибка в про­ изводной становится меньше, если данные концентрируются около значения t0, расположенного в середине интервала изменения t, чем когда значение t0 попадает на тот или другой конец интервала.

Вместо непрерывной

производной

можно использовать

любой

из

интерполяционных

многочленов

(разделенные,

правые,

левые

и

центральные разности, многочлены Лагранжа,

Грама и

т.д.).

В табл. 9.1.1 представлены численные ошибки для нескольких разностных формул, использованных для вычисления температур­ ного градиента в стенке (dT/dz)ZQ по измеренным значениям тем­ пературы, которая считалась детерминированной переменной [4]. Здесь аппроксимации градиента dîldz и «порядок ошибки» маски­ руют значительно более важный источник ошибки при вычислении dT/dz, а именно случайную ошибку, порождаемую измерением тем­ пературы Т. Большинство схем аппроксимации для производных можно записать в общей форме:

Dm+1 ІУ) =

Jk (А0У<> + аіУі + • • • +

йтУт),

 

где at — постоянные;

D — дифференциальный

оператор;

к —

порядок производной;

h — фиксированное

приращение независи­

мой переменной, а ( т + 1 ) — число используемых

опорных

точек.

Следовательно, дисперсию производной можно оценить с помощью формулы переноса ошибок (предполагая, что величины Yt стоха-

648

Глава 9

Таблица 9.1.1

Степень

много­

члена

1

2

3

4

Вычисление температурного градиента

dT

Аппроксимация -^— при z = z dz 0

 

Ti-To

 

 

h

 

- Г 2

+ 4 Г , - З Г 0

 

 

2h

2 Г 8

—ЭГа + І в Г і - И Г о

 

 

6h

— З Г 4 +

ІбГд -

ЗбГз + 4871! - 25Г 0

 

 

12Ä

—— при z = z0 і)

Порядок

Численное

значение

остаточ­

 

ного члена

y d z > z = 0

h

4,12

h*

4,71

h3

5,25

h*

3,47

l) Измеренные значения температуры: Т0 =-1,000, Гі =-0,588, Т2 =—0,295, Т3 = =—0,259, Т4 =-0,305; ft =0,1.

стически независимы, что практически может оказаться маловеро­ ятным) :

Ѵ а г { ^ + 1 ( У ) } = -^5- К Ѵ а г { У 0 } + . .. + < Ѵ аг{Ут }]. (9.1.11)

Если принять дисперсии всех величин Уг- равными друг другу, то

m

 

 

V a r { / ) f n + 1 ( r ) } = ^ V a r { y } 2

«f-

(9-1.12)

 

 

г=0

 

 

Из

выражения

(9.1.12) видно, что чем меньше

интервал

h и чем

больше членов

в формуле, тем больше ошибка в производной;

эта

ошибка растет с увеличением порядка производной. Чтобы

рассмотреть конкретный пример, предположим, что все величины ТІ в табл. 9.1.1 обладают одинаковым стандартным отклонением 0,01 ( 1 % от Т0) или дисперсией в Ю - 4 . Тогда для многочлена чет­ вертого порядка

и

°"(dT/d2)2 = 0 ^ 0,56,

т. е. 16% от (dT/dz)z=Z0.

Смотрите также файлы