Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

638 Глава 9

упрощены до такой степени, что могут описывать процесс лишь приблизительно, даже если их параметры известны точно.

В гл. 7 описывались различные методы, которые можно исполь­ зовать для различения эмпирических моделей; те же самые методы можно применить и к моделям, основанным на явлениях переноса. Здесь в дополнение к критериям репрезентативности (разности между откликами процесса и откликами, предсказанными с по­ мощью модели, удовлетворяют некоторому критерию) и простоты, привлекается критерий априорного знания формы модели. Выбор класса моделей определяется рядом физических ограничений, упомянутых в гл. 1.

После того как форма модели ориентировочно выбрана и изве­ стны или могут быть получены данные на входе и выходе процесса, целью оценивания параметров и состояния является определение «наилучших» значений параметров и зависимых переменных модели. В части I I I для нескольких различных классов моделей явлений переноса описываются подходящие методы оценивания, использующие как дискретные, так и непрерывные эксперимен­ тальные данные.

Глава 9

ОЦЕНИВАНИЕ В МОДЕЛЯХ ПРОЦЕССОВ,

ПР Е Д С Т А В Л Е Н Н Ы Х О Б Ы К Н О В Е Н Н Ы М И

ДИ Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н Ы М И У Р А В Н Е Н И Я М И

После алгебраических уравнений простейшим типом моделей, основанных на явлениях переноса (фиг. 1.1.2), являются модели, содержащие обыкновенные дифференциальные уравнения. Эта глава посвящена оцениванию параметров моделей, включающих одно или несколько обыкновенных дифференциальных уравнений, главным образом первого, а также и более высоких порядков. Такие модели описывают неустановившиеся состояния систем с сосредоточенными параметрами или установившиеся состояния систем с распределенными параметрами, с которыми приходится сталкиваться, например, при решении задач в следующих обла­ стях:

1. Анализ баллистических траекторий.

2.Анализ работы химических реакторов.

3.Обработка сигналов.

4.Кибернетика.

5.Явления переноса в человеческом обществе.

Здесь будет рассмотрено оценивание параметров и несколько менее подробно — оценивание состояния. Оценивание «состояния» процесса означает оценивание зависимых переменных этого про­ цесса. Можно различить три типа оценивания состояния. Если

Совокупность приборов, используемых при проведении числен­ ных расчетов в случае фильтрации, называется фильтром; оцени­ вание состояния часто называют фильтрацией.

Здесь нет возможности достаточно широко осветить ряд прак­ тических расчетных аспектов оценивания, таких, как:

1.Время, требуемое для проведения измерений и вычислений.

2.Выбор используемых пробных входных функций.

3.Эффективность установки для сбора данных.

Все эти факторы не очень просто поддаются обобщению, и луч­ ше всего их иллюстрировать специальными примерами, имеющи­ мися в литературе. Требования к экспериментированию и оцени­ ванию моделей, изложенные в предыдущих главах, предъявляются также и к моделям, основанным на явлениях переноса. Экспери­ менты следует проводить в соответствии с хорошим планом (гл. 8), который должен быть составлен таким образом, чтобы ошибки при измерениях были независимыми (гл. 5), а модель, коэффици­ енты которой требуется оценить, должна быть адекватной (гл. 7).

Некоторые из методов, которые будут описаны здесь, приводят к несмещенным оценкам параметров, тогда как другие не дают их. Показатели точности оценок параметров всегда являются при­ ближенными, если их вообще удается получить, ибо решения моде­ лей оказываются нелинейными по параметрам и их необходимо линеаризовать, чтобы получить эти показатели точности. В ряде случаев дифференциальные уравнения моделей можно разрешить явно относительно зависимых переменных; в других — это оказы­ вается невозможным. Часто число экспериментальных наблюде­ ний, которые можно провести, и время, отведенное для этого, ограничены экономическими соображениями или физическими условиями, а предполагаемая стационарность и независимость ошибок наблюдений не имеет места.

Естественно начать изложение с обзора типов моделей, которые будут рассматриваться в дальнейшем, и описания способа, с по­ мощью которого предполагается ввести ненаблюдаемые ошибки в детерминированную модель процесса. Затем будут применены два метода оценивания — метод наименьших квадратов и метод максимального правдоподобия, описаны и проиллюстрированы три несколько различающихся метода оценивания: последователь­ ное оценивание, квазилинеаризация и метод «ошибки уравнения». Будут рассмотрены случаи как дискретных, так и непрерывных