Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 701
Скачиваний: 2
Оценивание |
параметров |
обыкновенных |
дифференциальных |
уравнений |
649 |
Иначе говоря, если найденную численно производную придет ся использовать при оценивании в качестве отклика, то ошибка в стохастической зависимой переменной резко возрастает. Следо вательно, можно сделать вывод, что общий совет по возможности избегать численного дифференцирования экспериментальных дан ных вполне обоснован. В методе оценивания с помощью «ошибки уравнения», описанном в разд. 9.6, будет предполагаться, что используются наблюдения самих производных, а не производные, вычисленные по наблюдениям величин.
9.2. О Ц Е Н И В А Н И Е М Е Т О Д О М Н А И М Е Н Ь Ш И Х К В А Д Р А Т О В
Поскольку оценивание параметров методом наименьших квад ратов не требует априорного знания распределения ненаблюдае мых ошибок, дает несмещенные оценки, т. е. %{Y(t)} =у (t)t и приводит к минимальной дисперсии среди всех линейных несме щенных оценок, то метод наименьших квадратов широко использу
ется как для эмпирических моделей, описанных в части |
I I этой |
||||
книги, так и для |
моделей, |
основанных на |
явлениях |
переноса. |
|
Если наблюдения |
Y для |
откликов модели |
представляют |
собой |
|
непрерывные функции времени в интервале |
от t = 0 до |
t = tf, |
|||
то критерий Маркова (или строгий метод наименьших |
квадратов) |
||||
требует минимизировать величину |
|
|
|
||
ф=1 | [ Y - 4 T ] r r - M Y — V ] * , |
|
(9.2.1) |
|||
|
о |
|
|
|
|
где Г — ковариационная матрица (или, возможно, матрица соот ветствующих весов), описанная в разд. 5.5, а ф — проинтегриро ванное по времени значение квадрата ошибки (интеграл квадрата ошибки). Если наблюдения проводились в дискретные моменты времени tt, i = 1, 2, . . ., п, то, согласно критерию Маркова, следует минимизировать величину
п |
|
|
Ф = т 2 |
[Y (tt) — (ti)f Г"1 [Y (tt) — W (tt)]. |
(9.2.2) |
i = |
i |
|
(В выражениях (9.2.1) и (9.2.2) множитель V 2 иногда опускается.) Если, как в гл. 5, матрица Г является диагональной (все недиаго нальные элементы равны нулю), то ф соответствует критерию «взве шенных наименьших квадратов»; если же Г = ofl, получается критерий «обыкновенных наименьших квадратов».
650 |
Глава 9 |
|
9.2.1. |
Дискретные |
наблюдения |
Чтобы минимизировать ф для дискретных наблюдений, можно формально продифференцировать выражение (9.2.2) по у 0 и а, a затем приравнять получившиеся выражения соответственно нулевому вектору 0 и нулевой матрице 0. Получим следующую сис тему нелинейных (по оценкам) уравнений *):
дф |
2 [Y - W (â, уо, tt)f Г 1 |
(tt) |
W («, уо, t,) = |
0Г , |
2 |
||||
|
І=І |
|
|
(9.2.3) |
дф |
_ 2 2 [Y - W (â, уо, ti)f |
Г'1 |
(tt) ± W («, уо, tt) |
= 0. |
да = |
i=l
Подобную систему уравнений можно получить и для непрерывных данных, заменяя суммы по дискретным значениям на интегралы по времени. Уравнения (9.2.3) образуют систему n -\- n х п = = п (п + 1) нелинейных уравнений, которые используются для
получения n (n + 1) оценок |
элементов а и у 0 . |
Для того чтобы получить |
оценки точности оценок а и у 0 , необ |
ходимо сделать некоторое предположение относительно распреде ления ненаблюдаемых ошибок, например постулировать совмест ное нормальное распределение. Чтобы получить оценки точности оценок Y, решение модели необходимо приближенно представить в виде линейной функции параметров, разлагая это решение в ряд относительно оценок этих параметров, как описано в разд. 6.4. В тех случаях, когда аналитическое решение для модели неизвест
но, можно подставить и линеаризовать приближенное |
аналитиче |
|||||||||
ское решение. |
Если |
предполагается, |
что Г = |
а|І, то |
выражение |
|||||
(6.4.3) |
дает приближенную |
ковариационную |
матрицу для эле |
|||||||
ментов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ь = |
а |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Уо J |
|
|
|
!) |
Символ |
d47dß |
означает |
|
(v х то)-матрицу |
Якоби, |
составленную |
|||
из производных |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3ßi |
àh |
" |
" ' |
dßm |
|
|
|
|
|
|
дЧ2 |
дУ2 |
|
|
дЧ2 |
|
|
|
|
д$ |
ößi |
ö ß 2 |
' |
' ' |
ö ß m |
•Прим ред. |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
9V0 |
зѵ0 |
|
|
dWv |
|
|
|
|
|
|
|
ö ß 2 |
* |
' |
<5ßm |
|
|
|
Оценивание параметров обыкновенных дифференциальных |
уравнений |
651 |
а выражение (6.4.5) определяет приближенную совместную дове рительную область. Если Г Ф а\1, то элементы матрицы Г нужно оценивать, как описано в разд. 5.5, а оценка ковариационной мат рицы для Ь, согласно изложенному в разд. 5.1, равна
|
|
|
|
|
|
Cov {b} « |
( X T f |
|
|
|
|
|
где символ ^ означает, что при вычислении матричных |
элементов |
|||||||||||
используются |
оценки |
параметров. |
|
|
|
|
||||||
|
В качестве примера использования уравнений (9.2.3) примени |
|||||||||||
тельно |
к |
конкретной |
модели |
возьмем скалярные |
уравнения |
|||||||
(9.1.1) |
- |
(9.1.3). Дифференцируя |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
і=1 |
|
|
|
|
|
|
|
по |
г/о, |
а |
затем |
по |
а |
и заменяя |
в получившихся |
выражениях |
у0 |
|||
и а |
на |
их оценки, |
получаем |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
[Y |
(tt) |
- |
y0eâti + i?- (1 - eâti)) |
eâti = |
О, |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 [Y(ti)~y0eâti |
+ |
|
|
^(l-eàii)]x |
|
|
|
|
||||
it! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X { ^ o |
e * f i — g - - « « « ) - 1 ] } |
= 0 . |
|||
|
Используя |
уравнения |
(9.2.3), |
необходимо |
помнить |
следующие |
важные положения: 1) ненаблюдаемая ошибка добавляется к детер минированному отклику специальным образом, 2) в оценках используются одновременно все п откликов и 3) в критерий не вхо дит никакая априорная статистическая информация, за исключе нием, быть может, той, которая вводится с помощью матрицы Г.
Так как уравнения (9.2.3) нелинейны, |
для определения |
значений |
||||||
а |
и у о необходимо |
применить |
какой-нибудь |
численный |
метод |
|||
решения, например метод Ньютона — Рафсона. Как |
объяснялось |
|||||||
в |
разд. 6.2, эта необходимость |
нередко вынуждает |
выбрать |
один |
||||
из методов оптимизации вместо того, |
чтобы |
работать |
непосред |
|||||
ственно с уравнениями (9.2.3). |
|
|
|
|
|
|
||
|
9.2.2. |
Вычислительные |
проблемы |
|
|
|
Основная трудность, с которой сталкиваются при оценивании методом наименьших квадратов моделей, основанных на явлениях переноса, такая же, как указывалась в разд. 5.5, 6.2 и 6.3, а именно, как успешно провести оптимизацию ф для нелинейной модели.