Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

наблюдений. Последние важны при оценивании в натуральном масштабе времени, т. е. если время оценивания меньше времени, в течение которого наблюдаемая переменная процесса претерпе­ вает существенное изменение.

9.1. М О Д Е Л И П Р О Ц Е С С О В И В В Е Д Е Н И Е О Ш И Б К И

В этом разделе будут кратко охарактеризованы рассматривае­ мые типы моделей и указаны некоторые их существенные особен­ ности.

и нелинейными моделями, ибо для последних аналитическое реше­ ние, как правило, отсутствует и необходимо использовать числен­ ное или приближенное решение, что делает задачу оценивания

В модели с начальными значениями, содержащей одно диффе­ ренциальное уравнение, число задаваемых начальных условий (значений зависимой переменной или ее производных в начале отсчета координат или времени) должно равняться порядку наи­ высшей производной. Для системы дифференциальных уравнений первого порядка обычно задается по одному начальному условию на зависимую переменную в каждом уравнении. Если общее реше­ ние модели известно, то произвольные постоянные, появляющие­ ся в общем решении при интегрировании уравнений, можно вычис­ лить, подставляя в это общее решение заданные начальные условия и разрешая получившуюся систему уравнений относительно этих постоянных. Если общее решение неизвестно и проводится чис­ ленное решение дифференциальных уравнений, то начальные усло­ вия определяют исходные точки интегрирования, которое обычно выполняется шаговым методом, или методом «продвижения». Прос­ тым примером модели с начальным значением, в которой диффе­ ренциальное уравнение линейно относительно зависимой перемен­ ной, служит модель изотермического реактора смешения периоди­ ческого действия, в котором протекает реакция первого порядка (фиг. 9.1.1).

С другой стороны, в модели с граничными значениями соответ­ ствующее число значений зависимой переменной или ее производ­ ных задается при различных значениях независимой переменной,

т. е. не только в начале, но и (обычно) в конце интервала изменения независимой переменной. Если общее решение модели известно, заданные значения можно подставить в общее решение и вычислить произвольные постоянные. Однако, если приходится выполнять численное решение дифференциальных уравнений, исходных зна­ чений для численного интегрирования не хватает; следовательно,

Ф и г . 9.1.1. Сравнение модели с начальным условием и модели с граничным условием (сА — концентрация А, к — коэффициент скорости реакции, ( — время, D — постоянная).

задача решения модели с граничными условиями является более сложной и требует большего времени, чем задача для модели с на­ чальными значениями. Например, можно было бы применить схе­ му численного интегрирования с начальными значениями, делая некоторые предположения об этих начальных значениях и срав­ нивая вычисленные значения зависимой переменной с заданными значениями на другой границе. С помощью итераций эти значения можно согласовать. Конкретные расчетные схемы приводятся в книге [1] и других руководствах по численному анализу.

Весьма возможно, что наряду с параметрами модели потребует­ ся оценивать начальные и (или) граничные условия. Ниже будет показано, как это можно осуществить.

У (t) — предсказанный выход).

Простейшей моделью, которую следует рассмотреть, является одно скалярное линейное (по зависимой переменной) обыкновен­ ное дифференциальное уравнение первого порядка с постоянным коэффициентом

которое имеет хорошо известное решение [2]

Оценивание параметров обыкновенных дифференциальных уравнений 643

«состоянием» системы; t — независимая переменная (обычно, но не всегда — время); у 0 — независящее от времени начальное условие, а X (t) — детерминированная входная функция («возмущающая» сила). Для того чтобы получить наблюдаемую зависимую перемен­ ную Y (t), к функции у (t) следует добавить, как условлено, нена­ блюдаемую ошибку e (t) (фиг. 9.1.2). Для дискретных наблюдений

Ф и г . 9.1.3. Многомерный процесс с несколькими входами.

оценивания параметров является получение «наилучшей» в смысле, разъясненном в следующих разделах, оценки параметра а с по­ мощью наблюдений Y (tt) или Y (t). Чтобы сделать это, необходимо знать функцию х (t) и иметь некоторую информацию о характере

s(t).

Более общей моделью, чем уравнение (9.1.1), является модель, содержащая систему линейных (по зависимым переменным) обык­ новенных дифференциальных уравнений первого порядка с по­ стоянными коэффициентами, типичным примером которой может служить система

Фиг. 9.1.3 иллюстрирует эту модель. Уравнение (9.1.4) обычно записывают в матричных обозначениях: