определяемое, в евклидовом смысле:
m
dsa=Jldß}. (9.2.5)
з = і
Изменение ф в зависимости от s определяется выражением m
3 = 1
и направление наискорейшего спуска соответствует |
наибольшему |
отрицательному значению аф/ds, |
которое делает |
выражение |
(9.2.6) |
при условии |
(9.2.5) стационарным. |
|
|
|
|
Можно образовать |
функцию |
Лагранжа (см. приложение Б) |
|
m |
|
|
m |
|
|
|
|
*-2&*+*1>-2(Ш |
|
|
|
3=1 |
|
|
;=1 |
от g |
|
d$j/ds, |
Приравнивая |
нулю |
частные |
производные |
по |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
Подстановка соотношения (9.2.7) |
в тождество |
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, 2 |
|
|
|
|
|
3=1 |
\ |
J |
|
|
|
дает функцию Я |
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«««о |
|
*-±т[2(£)Т- |
|
|
|
i = i |
|
|
|
|
|
Подставляя выражение |
(9.2 8) в |
соотношение |
(9 2 7), получаем |
|
|
m |
|
|
|
|
<9-2-9> |
|
* - ± [ 2 ( £ ) T w . |
|
|
3=1
где положительный знак соответствует скорости изменения в на правлении наискорейшего подъема, а отрицательный знак — в направлении наискорейшего спуска. _
Если производную ds/dt отождествить теперь со скоростью г;,
ибо
Оценивание |
параметров |
обыкновенных |
дифференциальных |
уравнений |
659 |
то, чтобы получить выражение для скорости изменения ßj в напра влении наискорейшего спуска
которое приводилось ранее, необходимо лишь выбрать скорость ѵ пропорциональной модулю градиента
m
Выражение (9.2.4) можно сравнить с шаговым вариантом' наи скорейшего спуска, описанным в разд. 6.2.4, полагая
<й ~ |
А* |
— /с ^ , |
или |
|
|
Если величину /с А?; принять за |
постоянный размер шага h, то |
связь с выражением (6.2.17а) станет очевидной. На следующем примере будет проиллюстрировано использование соотношения (9.2.4).
Пример 9.2.2. Непрерывное линейное оценивание с использованием метода наискорейшего спуска
В качестве простой иллюстрации непрерывного оценивания параметров методом наименьших квадратов с использованием мето
да наискорейшего спуска определим параметры линейной |
модели |
У = ßo ßi#- Критерием для оценивания служит минимум |
вели |
чины |
|
|
t |
t |
|
ф = ± j e 2 * ' |
= T | ( У - Р о - М а Л \ |
(а) |
о |
о |
|
где Y — случайная зависимая переменная, t' — переменная инте грирования, а ^ — натуральное (истинное) время. Для наискорей шего спуска положим
dßj_ _ |
, |
дф^ |
т |
dx - |
^ |
aßt ' |
( ° 2 ' |
где т — масштаб времени на аналоговой или гибридного типа вычислительной машине.
Производные в правой части соотношений (б) можно подсчитать следующим образом:
t
j ( r - ß o - ß i * ) d * ' , |
(Bt ) |
о |
|
t |
|
| £ - = - j O ' - ß o - ß i * ) * * ' . |
(в2 ) |
о |
|
Подставляя выражения (в) в соотношения (б) и обозначая через Ь оценки параметров ß, получаем
t t
^ - |
= k0[^Ydt,-bQt-bi$xdt'], |
о |
|
(г,) |
|
о |
|
|
|
|
t |
|
t |
t |
|
^g- |
= kl[^Yxät' |
— b0 |
j xdt' |
— bi j x«<to']. |
(r2 ) |
|
0 |
|
0 |
0 |
|
На фиг. П.9.2.2 изображена моделирующая схема проведения расчетов. Заметим, что значения оценок параметров не имеют обратной связи с подсчетами в натуральное время (интегрирова нием), так.что схемы обработки данных, которые работают в на туральном масштабе времени, не связаны с расчетами методом наискорейшего спуска, которые проводятся в масштабное время т.
Модель, использованная в примере 9.2.2, была выбрана линейтіой по параметрам исключительно в иллюстративных целях. Оценивание методом наименьших квадратов с помощью метода наискорейшего спуска, который приводит к соотношению (9.2.4), можно в равной мере применить и к моделям процессов, представ ленных в форме обыкновенных дифференциальных уравнений, решение которых задается в виде непрерывного аналога выраже ния (9.1.8); ошибка к решению добавляется так же, как в выраже нии (9.1.9). В общем случае
|
- k - ^ - k j |
[ Y - Y ( ß . |
Ol^öjf-E-*'. |
(9.2.10) |
|
о |
|
|
|
|
Элементы |
матрицы dW/d$ |
называются коэффициентами |
чув |
ствительности |
или коэффициентами |
влияния параметров; |
их |
можно вычислить следующим образом. Продифференцируем обе части уравнения (9.1.10) по ß *), предполагая, что параметры ß
*) Используются именно ß, а не а, ибо начальные условия можно ввести
вмодель (9.1.101 в качеств»' дифференциальных уравнений вида
662 Глава 9
не зависят от t:
ä$ \dt ) |
\ |
ді (ß, У, t) |
\ |
ду |
dt (ß, у, t) |
|
|
ду |
} |
ÔQ ^ |
ф |
Если величины у непрерывны и дифференцируемы, то порядок диф
|
ференцирования |
можно |
изменить, |
что дает |
|
|
J_ |
(ду_\ |
_ |
ді (ß, у, t) |
ду |
dt (P, у, t) |
(9.2.11) |
|
dt |
\ д$ |
j |
ду |
dß |
ар |
|
|
Уравнение (9.2.11) представляет собой обыкновенное дифферен циальное уравнение
(9.2.12)
для коэффициентов чувствительности u = dy/dß (здесь предпола гается, что в соотношении (9.1.6) матрица h равна единичной мат рице, h = I ) . Даже если оценки параметров ß изменяются по мере
того, как <£—>- </>мин, они стремятся |
к постоянным |
значениям, |
так что в конце процесса уточнения |
выполняется предположение |
о том, что оценки ß постоянны. |
|
|
Таким образом, видно, что непрерывное во времени |
оценивание |
методом наименьших квадратов с использованием метода наиско рейшего спуска требует проведения измерений лишь на входе и вы ходе процесса. Оно обладает тем недостатком, что частные про изводные в уравнениях (9.2.4) и (9.2.12) являются функционала ми, т. е. представляют собой функции тех коэффициентов, которые требуется оценить. Поэтому градиент ф не существует, если коэф фициенты не являются постоянными. Следовательно, метод наиско рейшего спуска удовлетворителен только при малых к, потому что коэффициенты, используемые для вычисления отклика, долж ны входить в более ранние оценки. Осталось неясным, как подсчи тать показатели точности оценок как функции времени, что лежит в основе последовательного оценивания, которое будет описано в разд. 9.4, но для момента времени tf, безусловно, можно получить показатели точности оценок параметров по выборкам из наблю дений, как описано в разд. 9.2.1.
Пример 9.2,3. Непрерывное оценивание
Для описания работы завода по переработке отходов, состоя щего из нескольких агрегатов, была предложена система диффе ренциальных уравнений
dt = «нУі + аі2у2 + Xi(t), |
уi (0) = 0, |
dt = a2iyi-\-a22yz + xz(t), |
г/2 (0) = 0, |
